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第32课 — 矩阵运算

加法、标量乘法、矩阵乘法。乘法作为线性变换的合成。

Used in: 1.º ano EM (álgebra linear elementar) · Equiv. Math I japonês cap. matrizes · Equiv. Klasse 11 alemã (Matrizen)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

运算

加法与减法

对于相同维度的矩阵： $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

数乘

$(\alpha A)_{ij} = \alpha \cdot a_{ij}$

矩阵乘法

仅当 $A$ 的列数 = $B$ 的行数时定义： $A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = (AB)_{m \times p}$

$\boxed{(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}}$

性质

运算	性质
加法	交换律、结合律、单位元 $O$
数乘	分配律： $\alpha(A+B) = \alpha A + \alpha B$
乘法	结合律： $(AB)C = A(BC)$
乘法	分配律： $A(B+C) = AB + AC$
乘法	一般不满足交换律
单位	$AI = IA = A$
零	$AO = OA = O$

为什么矩阵乘法"奇怪"

因为它对应于线性变换的复合：先应用 $B$ 后应用 $A$ 等同于应用 $AB$ 。顺序很重要，因为复合很重要。

幂

$A^n = A \cdot A \cdots A$ （ $n$ 次）， $A^0 = I$ 。仅对方阵定义。

Exercise list

46 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 27Understanding 5Modeling 10Challenge 3Proof 1

Ex. 32.1Application
计算 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ 。（答： $\begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ 。）
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Ex. 32.2ApplicationAnswer key
计算 $3 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ 。
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Ex. 32.3Application
计算 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ 。（答： $\begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$ 。）
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Ex. 32.4Application
计算 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ——结果？
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Ex. 32.5ApplicationAnswer key
计算 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 。
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Ex. 32.6Application
$2 \times 3$ 矩阵乘以 $3 \times 2$ 矩阵——结果维度？（答： $2 \times 2$ 。）
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Ex. 32.7Application
计算 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}$ 。（答： $\begin{pmatrix} 50 \\ 122 \end{pmatrix}$ 。）
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Ex. 32.8Application
对 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ， $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ ，验证 $AB \neq BA$ 。
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Ex. 32.9ApplicationAnswer key
$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 的 $A^2$ 。（答： $I$ 。）
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Ex. 32.10Application
计算 $(A + B)^2$ 与 $(A^2 + 2AB + B^2)$ 。何时相等？（当 $AB = BA$ 。）
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Ex. 32.11Application
计算 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}^2$ 。
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Ex. 32.12Application
将 $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ 乘以 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 。（答： $(\cos\theta, \sin\theta)^T$ 。）
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Ex. 32.13ApplicationAnswer key
计算 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 。
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Ex. 32.14Application
对 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 和你选的 $B, C$ ，验证分配律： $A(B+C) = AB + AC$ 。
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Ex. 32.15Application
对 $A_{2 \times 3}$ 和 $B_{3 \times 4}$ ， $AB$ 维度？ $BA$ 呢？（ $BA$ 不存在。）
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Ex. 32.16Application
计算 $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ 。
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Ex. 32.17ApplicationAnswer key
证明两个对角矩阵之积是对角矩阵——显式计算。
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Ex. 32.18Application
计算 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^3$ 。
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Ex. 32.19Application
求 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^n$ ——求关于 $n$ 的一般公式。（答： $\begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 。）
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Ex. 32.20ApplicationAnswer key
$A^2 = A$ 的 $A_{2\times 2}$ ？（幂等——投影。）给两个例子。
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Ex. 32.21Application
计算 $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ 。
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Ex. 32.22Application
计算 $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ ——外积，维度 $3 \times 3$ 。
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Ex. 32.23ApplicationAnswer key
计算 $\begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ ——内积，维度 $1 \times 1$ 。（答： $32$ 。）
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Ex. 32.24Application
$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 的 $A^4$ 。（答： $I$ 。）
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Ex. 32.25Application
求 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 的 $A^2$ 。 $A^3$ 呢？（幂零。）
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Ex. 32.26Application
对 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ， $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ，验证 $(AB)^T = B^T A^T$ 。
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Ex. 32.27Application
计算 $\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix}$ ——验证为 $\alpha + \beta$ 旋转。
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Ex. 32.28Understanding
证明乘以单位矩阵不改变。（直接由定义。）
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Ex. 32.29Understanding
证明零矩阵相乘得零矩阵。
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Ex. 32.30Understanding
证明若 $A$ 对角且 $B$ 对角，则 $AB$ 对角，且对角元素相乘。
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Ex. 32.31UnderstandingAnswer key
证明若 $A$ 上三角且 $B$ 上三角，则 $AB$ 上三角。
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Ex. 32.32Understanding
证明 $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ ，即使 $AB \neq BA$ 。
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Ex. 32.33Modeling
在球队中，球员有进球 $G$ 和助攻 $A$ 。计分：进球 $\times 3$ + 助攻 $\times 1$ 。建模为矩阵乘积。
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Ex. 32.34Modeling
在神经网络中，层 $\mathbf{y} = W\mathbf{x} + \mathbf{b}$ 。 $W \in M_{10 \times 5}$ 时， $\mathbf x$ 和 $\mathbf y$ 维度？
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Ex. 32.35Modeling
马尔可夫链：分布 $\pi'$ = $\pi P$ 。若 $\pi = (0{,}5, 0{,}5)$ ， $P = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ ，计算 $\pi'$ 。
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Ex. 32.36Modeling
平面旋转： $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ 将 $(x, y)$ 旋转 $\theta$ 。对 $(1, 0)$ 、 $\theta = \pi/2$ 应用。
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Ex. 32.37ModelingAnswer key
PageRank 迭代 $\mathbf v_{n+1} = M \mathbf v_n$ ， $M$ 随机。 $M$ 的特征向量有什么用？
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Ex. 32.38Modeling
在 CG 中，2D 仿射变换： $T(\mathbf x) = A\mathbf x + \mathbf t$ 。如何用作用于 $(x, y, 1)^T$ 的 $3\times 3$ 矩阵表示？
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Ex. 32.39ModelingAnswer key
在经济学中，投入产出矩阵： $\mathbf x = A\mathbf x + \mathbf d$ ⟹ $\mathbf x = (I-A)^{-1}\mathbf d$ 。计算成本？
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Ex. 32.40ModelingAnswer key
在金融中，收益 $\mathbf r = R \mathbf w$ ， $R$ 是资产 × 情景的收益矩阵。建模。
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Ex. 32.41Modeling
$H \times W \times 3$ RGB 图像。转灰度： $g = 0{,}299 r + 0{,}587 g + 0{,}114 b$ 。如何用矩阵乘积表达？
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Ex. 32.42Modeling
在控制中，系统 $\mathbf x_{k+1} = A\mathbf x_k + B\mathbf u_k$ 。3 步后，用 $\mathbf x_0, \mathbf u_0, \mathbf u_1, \mathbf u_2$ 表示 $\mathbf x_3$ 。
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Ex. 32.43Challenge
求 $A \neq 0$ 与 $B \neq 0$ 使 $AB = 0$ （矩阵零因子）。
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Ex. 32.44Challenge
求 $A \neq I$ 使 $A^2 = I$ （非平凡对合）。
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Ex. 32.45Challenge
证明对方阵 $A, B$ ，若 $AB = I$ ，则 $BA = I$ 也成立（不平凡——依赖于维度有限）。
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Ex. 32.46Proof
通过 $\sum_k$ 和换求和顺序证明结合律： $(AB)C = A(BC)$ 。
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本课参考来源

A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · 2022 · EN · GFDL · 第 M 和 MM 章。主要来源。
Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · 2024, 4th ed · EN · CC-BY-NC · 第3章。
Álgebra linear — Wikilivros · 持续更新 · PT-BR · CC-BY-SA.