第33课 — 转置矩阵、单位矩阵、逆矩阵

转置与逆

转置

$(A^T)_{ij} = a_{ji}$。行与列互换。性质：

对称矩阵：$A^T = A$。正交矩阵：$A^T A = I$ ⟺ $A^{-1} = A^T$。

单位矩阵

$I_n$：$n \times n$ 方阵，对角线为1，其余为0。对所有 $A_{n \times n}$： $AI = IA = A$

逆矩阵

$A_{n \times n}$ 可逆（非奇异）若存在 $A^{-1}$ 使 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$。等价定理——对方阵 $A$，下述等价：

1. $A$ 可逆。
2. $\det A \neq 0$。
3. $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 只有 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$。
4. $A$ 的列线性无关。
5. $A$ 的行线性无关。
6. $A$ 满秩：$\text{rank}(A) = n$。
7. $A$ 是初等矩阵的乘积。

2x2 逆矩阵

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

（仅 $ad - bc \neq 0$ 有效。）

逆矩阵的性质

• $(A^{-1})^{-1} = A$
• $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$（顺序颠倒！）
• $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
• $(\alpha A)^{-1} = (1/\alpha) A^{-1}$
• $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$

高斯-若尔当法计算

形式 $[A | I]$ → 行变换至 $[I | A^{-1}]$。代价 $O(n^3)$。