第34课 — 2x2和3x3行列式

计算与性质

2x2

$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$

3x3——萨吕斯法则

$\det \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

（在右边重复前两列，3 个下行乘积 − 3 个上行乘积。）

n×n——拉普拉斯展开（代数余子式）

$\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$

其中 $M_{ij}$ 是子式（去掉第 $i$ 行第 $j$ 列的子矩阵的行列式）。递归：将 $n \times n$ 简化为 $(n-1) \times (n-1)$ 之和。

通过置换的定义（莱布尼茨）

$\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}$

对所有 $n!$ 置换求和。

性质

几何解释

• $|\det A|$ = 由 $A$ 的列生成的平行六面体的体积。
• $\det A > 0$：保持定向。$\det A < 0$：反转定向。
• $\det A = 0$：列线性相关（"压扁"的平行六面体）。

可逆性判据

$A$ 可逆 $\iff \det A \neq 0$。