第35课 — 通过矩阵求解方程组

求解方法

矩阵形式

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3 \end{cases}$ ⟺ $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$，$A_{3 \times 3}$，$\mathbf{x}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$。

方法1——高斯消元

初等变换（不改变解）：

1. 交换两行。
2. 一行乘以非零标量。
3. 一行倍数加到另一行。

目标：将 $[A | \mathbf{b}]$ 三角化为阶梯形。然后回代。

方法2——克拉默

对 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 且 $\det A \neq 0$： $x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$

其中 $A_i$ 是 $A$ 的第 $i$ 列被 $\mathbf{b}$ 替换。

方法3——逆

$\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$。可通过 $[A | I] \to [I | A^{-1}]$ 行变换计算 $A^{-1}$。

何时使用

方程组分类

• 确定的（SPD）：唯一解（$\det A \neq 0$，或 $\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf b]) = n$）。
• 不定的（SPI）：无穷多解（$\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf b]) < n$）。
• 不可解（SI）：无解（$\text{rank}(A) < \text{rank}([A|\mathbf b])$）。

鲁谢-卡佩利定理

$A\mathbf x = \mathbf b$ 有解 ⟺ $\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf b])$。两者 = 未知数个数时解唯一。