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第40课 — 年度巩固：第一年综合工坊

第1年最终研讨班。结合函数、三角学、解析几何、向量、矩阵、组合数学和概率论的问题。

Used in: Capstone 1.º ano EM · Equiv. Math I+II japonês revisão · Equiv. Abitur-Vorbereitung alemão

\text{Funções} + \text{Trig} + \text{Geo Analítica} + \text{Matrizes} + \text{Combinatória} + \text{Probabilidade}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

第一年综合

你完成了 40 课，覆盖基础：函数、变化率、三角学、序列、直观极限、解析几何、向量、线性方程组、矩阵、行列式、组合学、概率。

你现在掌握的

严格数学语言：集合、区间、记号。
函数建模：线性、二次、指数、对数、三角函数。
预微积分：平均变化率、序列直观极限——为第5-6学期正式微积分准备。
解析几何：通过笛卡尔的代数-几何联系。
入门线性代数：向量、矩阵、方程组、行列式。
组合学+概率：严格计数、贝叶斯。

第二年内容

第5学期：正式极限（ $\eps$ - $\delta$ ）。
第6学期：导数及法则（链式、乘积、商）。
第7学期：导数应用（优化、相关变化率）。
第8学期：描述统计与深入概率。

如何对待此工坊

预留 8 小时不查阅解 40 题。查答案（约 25% 有详解）。若得分 < 50%，重读相应课程；70-90% 之间，已为第二年准备好；超过 90%，阅读参考书的补充材料。

学期映射

学期	主题	课程
1	集合、区间、基本函数	1-10
2	三角学、序列、直观极限	11-20
3	解析几何、圆锥曲线、向量	21-30
4	矩阵、组合学、概率	31-40

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 25Modeling 12Challenge 2Proof 1

Ex. 40.1Application
$f(x) = \log_2(x^2 - 9)$ 的最大定义域。（答： $x < -3$ 或 $x > 3$ 。）
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Ex. 40.2Application
计算 $f(x) = x^2 - 3x$ 在 $[1, 4]$ 的 TVM。（答： $2$ 。）
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Ex. 40.3ApplicationAnswer key
复合： $f(x) = x^2$ ， $g(x) = 2x + 1$ 。 $(f \circ g)(2)$ 与 $(g \circ f)(2)$ 。（答： $25$ 和 $9$ 。）
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Ex. 40.4Application
$f(x) = (x - 3)/2$ 的反函数。（答： $f^{-1}(x) = 2x + 3$ 。）
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Ex. 40.5Application
解 $4^x = 32$ 。（答： $x = 5/2$ 。）
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Ex. 40.6ModelingAnswer key
细菌每30 分钟翻倍。初始100 个。3小时后？
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Ex. 40.7Modeling
投资 R$ 1.000，年利率 10% 复利。7 年后？
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Ex. 40.8Application
$\lim_{n \to \infty} (3n + 5)/(n + 1) = ?$ （答： $3$ 。）
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Ex. 40.9Application
二次 $f(x) = x^2 - 6x + 5$ ——顶点和根。
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Ex. 40.10Modeling
成本函数 $C(q) = 200 + 8q + 0{,}1 q^2$ 。 $q = 50$ 时平均成本？
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Ex. 40.11ApplicationAnswer key
计算 $\sin(\pi/4) + \cos(\pi/3)$ 。（答： $\frac{\sqrt 2}{2} + \frac{1}{2}$ 。）
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Ex. 40.12Application
在 $[0, 2\pi)$ 解 $\sin x = \sqrt 3/2$ 。（答： $\pi/3$ 和 $2\pi/3$ 。）
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Ex. 40.13Application
三角形 $a = 5, b = 7, C = 60°$ ——计算 $c$ （余弦定理）。（答： $c = \sqrt{39}$ 。）
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Ex. 40.14Modeling
潮汐： $h(t) = 2 + 1{,}5 \sin(\pi t/6)$ 。最大与最小。
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Ex. 40.15Application
PA： $a_1 = 3, r = 5$ 。 $a_{20}$ 与 $S_{20}$ 。
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Ex. 40.16Application
PG： $a_1 = 2, q = 3$ 。 $S_8$ 。
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Ex. 40.17ApplicationAnswer key
无穷和 $1 + 1/2 + 1/4 + \ldots$ 。（答： $2$ 。）
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Ex. 40.18Application
$1 + 2 + 3 + \ldots + 200$ 之和（高斯）。（答： $20\,100$ 。）
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Ex. 40.19Modeling
1 m 摆。近似周期 $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ ， $g = 9{,}8$ 。（答： $\approx 2{,}01$ s。）
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Ex. 40.20Modeling
指数衰减：半衰期 5 天。100g 在 25 天后剩多少？（答： $100/2^5 = 3{,}125$ g。）
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Ex. 40.21Application
$(2, 3)$ 与 $(8, 11)$ 之间距离。（答： $10$ 。）
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Ex. 40.22Application
过 $(0, 4)$ 与 $(2, 0)$ 的直线方程。（答： $y = -2x + 4$ 。）
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Ex. 40.23Application
圆心 $(2, -1)$ 半径 $5$ 的圆方程。（答： $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25$ 。）
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Ex. 40.24Application
$(3, 4) \cdot (1, 2)$ 与夹角。（答：积 $= 11$ 。）
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Ex. 40.25Modeling
$30°$ 斜面，10 kg 滑块，无摩擦。加速度？（答： $g \sin 30° = 4{,}9$ m/s²。）
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Ex. 40.26Application
$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ 的行列式。（答： $5$ 。）
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Ex. 40.27ApplicationAnswer key
用克拉默解 $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -2 \end{cases}$ 。（答： $x = 19/7, y = 11/7$ 。）
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Ex. 40.28Application
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 。 $A^{-1}$ ？（答： $\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$ 。）
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Ex. 40.29ModelingAnswer key
飞机 600 km/h 向北，东风 80 km/h。合速度。
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Ex. 40.30ApplicationAnswer key
圆锥曲线 $x^2/16 + y^2/9 = 1$ ——顶点、焦点。
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Ex. 40.31ApplicationAnswer key
$5!$ 。（答： $120$ 。）
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Ex. 40.32ApplicationAnswer key
$\binom{8}{3}$ 。（答： $56$ 。）
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Ex. 40.33Application
"PROBLEMA" 字谜——8 字母不同。（答： $40\,320$ 。）
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Ex. 40.34Modeling
Mega-Sena： $P(\text{中 6})$ 。（答： $1/\binom{60}{6}$ 。）
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Ex. 40.35Modeling
抛 3 硬币。 $P(\text{3 正面})$ 。（答： $1/8$ 。）
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Ex. 40.36Modeling
$X \sim \text{Bin}(6, 0{,}5)$ 。 $P(X = 3)$ 。（答： $20/64 = 5/16$ 。）
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Ex. 40.37Modeling
罕见疾病 $P(D) = 0{,}001$ ，敏感度 99%，特异度 95%。通过贝叶斯计算 $P(D|+)$ 。
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Ex. 40.38Challenge
在 $[0, 2\pi)$ 解 $\sin x + \cos x = 1$ 。
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Ex. 40.39ChallengeAnswer key
半径 1 的圆内最大等边三角形。（边长： $\sqrt 3$ 。）
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Ex. 40.40Proof
组合上证明 $\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p-1} + \binom{n-1}{p}$ （帕斯卡）。
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本课参考来源

工坊汇总第一年所有来源。主要：

Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §1, §8.
Algebra and Trigonometry — OpenStax · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY · §1-§11.
College Algebra — OpenStax · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY · §1-§11.
Linear Algebra Done Right — Axler · 2024, 4th ed · EN · CC-BY-NC · 第1、3、6、10 章。
OpenIntro Statistics — Diez et al. · 2019, 4ª ed · EN · CC-BY-SA · 第3章。
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Stitz, Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §1-§11.

完整目录在 /livros。

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