第41课 — 正式极限：ε-δ 定义

严格定义

通过 ε-δ 证明极限

1. 用 $|x - a|$ 表示 $|f(x) - L|$。
2. 任意 $\eps > 0$，找 $\delta = \delta(\eps)$ 使 $0 < |x - a| < \delta$ 时 $|f(x) - L| < \eps$。

模板例：$\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7$

$|3x + 1 - 7| = |3x - 6| = 3|x - 2|$。给定 $\eps > 0$，取 $\delta = \eps/3$。则 $|x - 2| < \delta \Rightarrow 3|x - 2| < \eps$。∎

单侧极限

• $\lim_{x \to a^+} f(x) = L$：$0 < x - a < \delta$（仅右侧）。
• $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$：$0 < a - x < \delta$（仅左侧）。
• $\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^+} = \lim_{x \to a^-} = L$。

无穷极限

$\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$：$\forall M > 0, \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow f(x) > M$。

$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$：$\forall \eps > 0, \exists N : x > N \Rightarrow |f(x) - L| < \eps$。

4 种量化表

基本性质

• 和的极限 = 极限的和。
• 积的极限 = 极限的积。
• 商的极限 = 商，分母 $\neq 0$。