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第42课 — 极限的代数性质

Limite da soma, produto, quociente, potência. Composição. Confronto. Ferramentas operacionais.

Used in: 2.º ano do EM (16-17 anos) · Equiv. Math II japonês (極限の性質) · Equiv. Oberstufe Grenzwertregeln alemão

lim⁡(f±g)=lim⁡f±lim⁡g,lim⁡(fg)=lim⁡f⋅lim⁡g,lim⁡(f/g)=lim⁡f/lim⁡g\lim (f \pm g) = \lim f \pm \lim g, \quad \lim (fg) = \lim f \cdot \lim g, \quad \lim (f/g) = \lim f / \lim g
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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

运算性质

设 lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L，lim⁡x→ag(x)=M\lim_{x \to a} g(x) = M。则：

运算结果
lim⁡(f±g)\lim (f \pm g)L±ML \pm M
lim⁡(cf)\lim (cf)，cc 常数cLcL
lim⁡(fg)\lim (fg)LMLM
lim⁡(f/g)\lim (f/g)，M≠0M \neq 0L/ML/M
lim⁡fn\lim f^n，n∈Nn \in \mathbb{N}LnL^n
lim⁡fn\lim \sqrt[n]{f}Ln\sqrt[n]{L}（定义时）
$\limf

复合

若 lim⁡x→ag(x)=b\lim_{x \to a} g(x) = b 且 ff 在 bb 连续，则 lim⁡x→af(g(x))=f(b)\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b)。

注意：无连续性，复合可能失败。反例：g(x)=0g(x) = 0 常数，ff 在 0 处可去间断。

夹逼定理（三明治）

若 aa 邻域（除 aa 外）g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x) 且 lim⁡g=lim⁡h=L\lim g = \lim h = L，则 lim⁡f=L\lim f = L。

经典应用

lim⁡x→0xsin⁡(1/x)=0\lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0 由夹逼：−∣x∣≤xsin⁡(1/x)≤∣x∣-|x| \leq x \sin(1/x) \leq |x| 且 lim⁡∣x∣=0\lim |x| = 0。

何时不行

  • 0/0、∞/∞：不定式，需操作。
  • 分母 → 0：可能 ±∞\pm \infty 或不存在。
  • 与不连续 ff 复合：需谨慎。

Exercise list

42 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 6Modeling 6Challenge 4Proof 6
  1. Ex. 42.1Application
    lim⁡x→2(x2+3x−1)\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1)。（答：9。）
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  2. Ex. 42.2ApplicationAnswer key
    lim⁡x→1x2+3\lim_{x \to 1} \sqrt{x^2 + 3}。
    Solve online
  3. Ex. 42.3ApplicationAnswer key
    lim⁡x→0(x+1)/(x2+1)\lim_{x \to 0} (x + 1)/(x^2 + 1)。
    Solve online
  4. Ex. 42.4ApplicationAnswer key
    lim⁡x→3(x2−9)/(x−3)\lim_{x \to 3} (x^2 - 9)/(x - 3)。（答：6。）
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  5. Ex. 42.5Application
    lim⁡x→0(1−cos⁡x)/x2\lim_{x \to 0} (1 - \cos x)/x^2。
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  6. Ex. 42.6Application
    lim⁡x→0sin⁡(3x)/x\lim_{x \to 0} \sin(3x)/x。（答：3。）
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  7. Ex. 42.7Application
    lim⁡x→0tan⁡x/x\lim_{x \to 0} \tan x / x。
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  8. Ex. 42.8Application
    lim⁡x→∞(2x2−3x+1)/(x2+5)\lim_{x \to \infty} (2x^2 - 3x + 1)/(x^2 + 5)。（答：2。）
    Solve online
  9. Ex. 42.9Application
    lim⁡x→∞(x+1)/(x2+1)\lim_{x \to \infty} (x + 1)/(x^2 + 1)。
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  10. Ex. 42.10Application
    lim⁡x→−∞(x3+1)/(x2−1)\lim_{x \to -\infty} (x^3 + 1)/(x^2 - 1)。（答：−∞-\infty。）
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  11. Ex. 42.11Application
    lim⁡x→0x2sin⁡(1/x)\lim_{x \to 0} x^2 \sin(1/x)，用夹逼。
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  12. Ex. 42.12ApplicationAnswer key
    lim⁡x→0(ex−1)/x\lim_{x \to 0} (e^x - 1)/x。
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  13. Ex. 42.13Application
    lim⁡x→0ln⁡(1+x)/x\lim_{x \to 0} \ln(1+x)/x。
    Solve online
  14. Ex. 42.14ApplicationAnswer key
    lim⁡x→1ln⁡x/(x−1)\lim_{x \to 1} \ln x / (x - 1)。
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  15. Ex. 42.15Application
    lim⁡x→0(1+2x)1/x\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{1/x}。（答：e2e^2。）
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  16. Ex. 42.16Application
    lim⁡x→4(x−4)/(x−2)\lim_{x \to 4} (x - 4)/(\sqrt x - 2)。
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  17. Ex. 42.17Application
    lim⁡x→∞(sin⁡x)/x\lim_{x \to \infty} (\sin x)/x，用夹逼。
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  18. Ex. 42.18ApplicationAnswer key
    lim⁡n→∞(2n2+5n)/(n2+1)\lim_{n \to \infty} (2n^2 + 5n)/(n^2 + 1)。
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  19. Ex. 42.19Application
    lim⁡x→0(cos⁡x)1/x2\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}。（答：e−1/2e^{-1/2}。）
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  20. Ex. 42.20ApplicationAnswer key
    lim⁡x→0(1+x−1−x)/x\lim_{x \to 0} (\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})/x。（答：1。）
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  21. Ex. 42.21Understanding
    用夹逼定理 + 单位圆几何证 lim⁡x→0sin⁡x/x=1\lim_{x \to 0} \sin x / x = 1。
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  22. Ex. 42.22Understanding
    用夹逼证 lim⁡x→0xcos⁡(1/x)=0\lim_{x \to 0} x \cos(1/x) = 0。
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  23. Ex. 42.23Understanding
    证 lim⁡x→0+xx=1\lim_{x \to 0^+} x^x = 1。（用 xx=exln⁡xx^x = e^{x \ln x} 与 lim⁡xln⁡x=0\lim x \ln x = 0。）
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  24. Ex. 42.24Understanding
    举 lim⁡(f+g)\lim (f + g) 存在但 lim⁡f\lim f 与 lim⁡g\lim g 不存在的例。
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  25. Ex. 42.25Understanding
    举 lim⁡(f⋅g)\lim (f \cdot g) 存在但 lim⁡f,lim⁡g\lim f, \lim g 只一个存在的例。
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  26. Ex. 42.26Understanding
    证若 lim⁡∣f(x)∣=0\lim |f(x)| = 0，则 lim⁡f(x)=0\lim f(x) = 0。
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  27. Ex. 42.27Proof
    用 ε-δ 证 lim⁡(f+g)=lim⁡f+lim⁡g\lim (f + g) = \lim f + \lim g。
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  28. Ex. 42.28ProofAnswer key
    用 ε-δ 证 lim⁡(cf)=clim⁡f\lim (cf) = c \lim f。
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  29. Ex. 42.29Proof
    用 ε-δ 证夹逼定理。
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  30. Ex. 42.30Proof
    证若 lim⁡f=L\lim f = L 且 L>0L > 0，存在 f>L/2f > L/2 的邻域。
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  31. Ex. 42.31Proof
    证极限（存在时）唯一。
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  32. Ex. 42.32ProofAnswer key
    证复合：lim⁡x→ag=b\lim_{x \to a} g = b，ff 在 bb 连续 ⇒ lim⁡f(g(x))=f(b)\lim f(g(x)) = f(b)。
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  33. Ex. 42.33Modeling
    在控制中，传递函数 H(s)=(s+2)/(s2+3s+2)H(s) = (s+2)/(s^2 + 3s + 2)。用性质算 H(0)H(0)。
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  34. Ex. 42.34ModelingAnswer key
    在药动学中，C(t)=(D/V)(e−kat−e−ket)/(ke−ka)C(t) = (D/V)(e^{-k_a t} - e^{-k_e t})/(k_e - k_a)。计算 lim⁡t→∞C(t)\lim_{t \to \infty} C(t)。
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  35. Ex. 42.35Modeling
    2\sqrt 2 的牛顿迭代序列：an+1=(an+2/an)/2a_{n+1} = (a_n + 2/a_n)/2。用性质找极限。
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  36. Ex. 42.36Modeling
    信号 V(t)=Asin⁡(ωt)/tV(t) = A \sin(\omega t)/t。t→∞t \to \infty 极限？t→0t \to 0？
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  37. Ex. 42.37Modeling
    在概率中，Xn→XX_n \to X 分布收敛。用 cos⁡\cos 连续性证 E[cos⁡Xn]→E[cos⁡X]E[\cos X_n] \to E[\cos X]。
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  38. Ex. 42.38Modeling
    欧拉法误差：∣y(xn)−yn∣≤Ch|y(x_n) - y_n| \leq C h，h→0h \to 0。建模为极限。
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  39. Ex. 42.39Challenge
    lim⁡x→0(sin⁡x−x)/x3\lim_{x \to 0} (\sin x - x)/x^3。（答：−1/6-1/6。）
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  40. Ex. 42.40Challenge
    lim⁡x→0((1+x)1/x−e)/x\lim_{x \to 0} ((1+x)^{1/x} - e)/x。
    Solve online
  41. Ex. 42.41Challenge
    lim⁡x→∞xsin⁡(π/x)\lim_{x \to \infty} x \sin(\pi/x)。（答：π\pi。）
    Solve online
  42. Ex. 42.42Challenge
    lim⁡x→0(cos⁡x−cos⁡(2x))/x2\lim_{x \to 0} (\cos x - \cos(2x))/x^2。（答：3/23/2。）
    Solve online

参考来源

Updated on 2026-04-30 · Author(s): Clube da Matemática

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