第43课 — 函数的连续性

定义与定理

直接 ε-δ 形式

$f$ 在 $a$ 连续 $\iff$ $\forall \eps > 0, \exists \delta > 0 : |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < \eps$。

（注：这里允许 $|x - a| = 0$，即 $x = a$，因 $|f(a) - f(a)| = 0 < \eps$ 平凡。）

不连续类型

中间值定理（TVI）

若 $f \in C([a, b])$ 且 $k$ 在 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间，则 $\exists c \in (a, b) : f(c) = k$。

Weierstrass 极值定理

若 $f \in C([a, b])$（闭有界区间），则 $f$ 在 $[a, b]$ 上达到最大值与最小值。

一致连续性

$f$ 在 $I$ 上一致连续若 $\forall \eps, \exists \delta$（同一 $\delta$ 对所有 $x$）使 $|x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \eps$。

Heine-Cantor：$f \in C([a, b])$ ⇒ $f$ 一致连续。

保连续性的运算

• 加、积、商（分母 $\neq 0$）。
• 复合：$g$ 在 $a$ 连续，$f$ 在 $g(a)$ 连续 ⇒ $f \circ g$ 在 $a$ 连续。
• $\max(f, g)$、$\min(f, g)$、$|f|$。