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第45课 — 重要极限与不定式

lim sin x/x = 1, lim (1+1/n)^n = e, lim (e^x − 1)/x = 1. Indeterminações e técnicas.

Used in: 2.º ano EM (Trim. 5) · Equiv. Math II japonês (cap. 3 — limites especiais) · Equiv. Klasse 11 alemã (Grenzwerte trigonometrisch) · Equiv. H2 Math singapurense (Special limits)

lim⁡x→0sin⁡xx=1,lim⁡x→∞(1+1x)x=e,lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \quad \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e, \quad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1
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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

重要极限与技巧

三个基本

  1. lim⁡x→0sin⁡xx=1\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1（几何——夹逼）。
  2. lim⁡x→∞(1+1x)x=e\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e（定义 ee）。
  3. lim⁡x→0ex−1x=1\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1（由前者推出）。

有用变体（表）

极限值
lim⁡x→0sin⁡x/x\lim_{x \to 0} \sin x / x11
lim⁡x→0sin⁡(kx)/x\lim_{x \to 0} \sin(kx)/xkk
lim⁡x→0tan⁡x/x\lim_{x \to 0} \tan x / x11
lim⁡x→0(1−cos⁡x)/x2\lim_{x \to 0} (1-\cos x)/x^21/21/2
lim⁡x→0(1−cos⁡x)/x\lim_{x \to 0} (1-\cos x)/x00
lim⁡x→0arcsin⁡x/x\lim_{x \to 0} \arcsin x / x11
lim⁡x→0arctan⁡x/x\lim_{x \to 0} \arctan x / x11
lim⁡x→0(ex−1)/x\lim_{x \to 0} (e^x - 1)/x11
lim⁡x→0(ax−1)/x\lim_{x \to 0} (a^x - 1)/xln⁡a\ln a
lim⁡x→0ln⁡(1+x)/x\lim_{x \to 0} \ln(1+x)/x11
lim⁡x→0((1+x)a−1)/x\lim_{x \to 0} ((1+x)^a - 1)/xaa
lim⁡x→∞(1+a/x)x\lim_{x \to \infty} (1 + a/x)^xeae^a
lim⁡x→0+xx\lim_{x \to 0^+} x^x11
lim⁡x→0+xln⁡x\lim_{x \to 0^+} x \ln x00

7 种常见不定式

0/00/0、∞/∞\infty/\infty、∞−∞\infty - \infty、0⋅∞0 \cdot \infty、1∞1^\infty、000^0、∞0\infty^0——通过操作或洛必达（第64课）解决。

技巧

  • 因式分解约简（多项式 0/00/0）。
  • 共轭（含根 0/00/0）。
  • 三角：用 sin⁡x≈x\sin x \approx x（小 xx）。
  • 变量替换：u=1/xu = 1/x，u=x−au = x - a。
  • 取对数：AB=eBln⁡AA^B = e^{B \ln A} 把 1∞1^\infty、000^0 转 0/00/0。

Exercise list

42 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 30Understanding 4Modeling 6Challenge 2
  1. Ex. 45.1Application
    lim⁡x→0sin⁡(2x)/x\lim_{x \to 0} \sin(2x)/x。（答：2。）
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  2. Ex. 45.2Application
    lim⁡x→0sin⁡(5x)/sin⁡(3x)\lim_{x \to 0} \sin(5x)/\sin(3x)。（答：5/35/3。）
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  3. Ex. 45.3Application
    lim⁡x→0tan⁡x/x\lim_{x \to 0} \tan x / x。
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  4. Ex. 45.4Application
    lim⁡x→0(1−cos⁡x)/x2\lim_{x \to 0} (1 - \cos x)/x^2。（答：1/21/2。）
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  5. Ex. 45.5Application
    lim⁡x→∞(1+2/x)x\lim_{x \to \infty} (1 + 2/x)^x。（答：e2e^2。）
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  6. Ex. 45.6Application
    lim⁡x→0(1+3x)1/x\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{1/x}。
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  7. Ex. 45.7Application
    lim⁡x→0(e2x−1)/x\lim_{x \to 0} (e^{2x} - 1)/x。（答：2。）
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  8. Ex. 45.8ApplicationAnswer key
    lim⁡x→0(ex−1)/sin⁡x\lim_{x \to 0} (e^x - 1)/\sin x。
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  9. Ex. 45.9Application
    lim⁡x→0ln⁡(1+x)/x\lim_{x \to 0} \ln(1+x)/x。
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  10. Ex. 45.10ApplicationAnswer key
    lim⁡x→0ln⁡(1+5x)/x\lim_{x \to 0} \ln(1 + 5x)/x。
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  11. Ex. 45.11Application
    lim⁡x→0+xln⁡x\lim_{x \to 0^+} x \ln x。（答：0。）
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  12. Ex. 45.12ApplicationAnswer key
    lim⁡x→0+xx\lim_{x \to 0^+} x^x。（答：1。）
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  13. Ex. 45.13Application
    lim⁡x→1(1/(1−x)−2/(1−x2))\lim_{x \to 1} (1/(1-x) - 2/(1-x^2))。（答：−1/2-1/2。）
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  14. Ex. 45.14Application
    lim⁡x→0sin⁡(x2)/x\lim_{x \to 0} \sin(x^2)/x。
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  15. Ex. 45.15ApplicationAnswer key
    lim⁡x→∞(1−1/x)x\lim_{x \to \infty} (1 - 1/x)^x。（答：1/e1/e。）
    Solve online
  16. Ex. 45.16ApplicationAnswer key
    lim⁡x→0((1+x)5−1)/x\lim_{x \to 0} ((1+x)^5 - 1)/x。（答：5。）
    Solve online
  17. Ex. 45.17Application
    lim⁡x→0(3x−1)/x\lim_{x \to 0} (3^x - 1)/x。（答：ln⁡3\ln 3。）
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  18. Ex. 45.18Application
    lim⁡x→0(arcsin⁡x)/x\lim_{x \to 0} (\arcsin x)/x。
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  19. Ex. 45.19Application
    lim⁡x→0(arctan⁡x)/x\lim_{x \to 0} (\arctan x)/x。
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  20. Ex. 45.20Application
    lim⁡x→∞(x/(x+1))x\lim_{x \to \infty} (x/(x+1))^x。（答：1/e1/e。）
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  21. Ex. 45.21Application
    lim⁡x→0(cos⁡x)1/x2\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}。（答：e−1/2e^{-1/2}。）
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  22. Ex. 45.22Application
    lim⁡x→0(cos⁡x)1/x\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x}。（答：1。）
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  23. Ex. 45.23ApplicationAnswer key
    lim⁡x→0((sin⁡x)/x)1/x2\lim_{x \to 0} ((\sin x)/x)^{1/x^2}。
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  24. Ex. 45.24Application
    lim⁡x→∞((x+2)/(x−1))x\lim_{x \to \infty} ((x+2)/(x-1))^x。（答：e3e^3。）
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  25. Ex. 45.25ApplicationAnswer key
    lim⁡x→0+xsin⁡x\lim_{x \to 0^+} x^{\sin x}。（答：1。）
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  26. Ex. 45.26Application
    lim⁡x→0+(sin⁡x)x\lim_{x \to 0^+} (\sin x)^x。（答：1。）
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  27. Ex. 45.27Application
    lim⁡x→1x1/(x−1)\lim_{x \to 1} x^{1/(x-1)}。
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  28. Ex. 45.28Application
    lim⁡x→0(1+sin⁡x)1/x\lim_{x \to 0} (1 + \sin x)^{1/x}。
    Solve online
  29. Ex. 45.29Application
    lim⁡x→0(ex+x)1/x\lim_{x \to 0} (e^x + x)^{1/x}。
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  30. Ex. 45.30Application
    lim⁡n→∞(n+1)/n2⋅sin⁡(n)\lim_{n \to \infty} (n+1)/n^2 \cdot \sin(n)。（答：0 通过夹逼。）
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  31. Ex. 45.31Modeling
    连续复利：V0=1000V_0 = 1000，r=5%/r = 5\%/年，T=10T = 10 年。通过 lim⁡n→∞V0(1+r/n)nT\lim_{n \to \infty} V_0(1 + r/n)^{nT} 计算 V(T)V(T)。
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  32. Ex. 45.32Modeling
    放射衰变：半衰期 5 年。12 年后 N(t)/N0N(t)/N_0？用 e−λte^{-\lambda t} 与 λ=ln⁡2/5\lambda = \ln 2 / 5。
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  33. Ex. 45.33ModelingAnswer key
    钟摆小振荡：T=2πL/gT = 2\pi\sqrt{L/g}。通过 lim⁡sin⁡x/x=1\lim \sin x/x = 1 证替换 sin⁡θ≈θ\sin \theta \approx \theta。
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  34. Ex. 45.34Modeling
    光学近似：小角度时 sin⁡θ≈θ\sin \theta \approx \theta，tan⁡θ≈θ\tan \theta \approx \theta。θ=5°\theta = 5° 的相对误差？
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  35. Ex. 45.35Modeling
    罕见事件泊松分布：lim⁡n→∞,np=λ(nk)pk(1−p)n−k=e−λλk/k!\lim_{n \to \infty, np = \lambda} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = e^{-\lambda}\lambda^k/k!。
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  36. Ex. 45.36ModelingAnswer key
    在金融中，短期美式期权：通过 sin⁡/(⋅)→1\sin/(\cdot) \to 1 展开近似支付 S0⋅σTS_0 \cdot \sigma \sqrt T。
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  37. Ex. 45.37Understanding
    通过单位圆与夹逼证 lim⁡sin⁡x/x=1\lim \sin x / x = 1。
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  38. Ex. 45.38UnderstandingAnswer key
    证 lim⁡(1+1/x)x\lim (1 + 1/x)^x 在 x∈Nx \in \mathbb{N} 单调递增。
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  39. Ex. 45.39Understanding
    通过泰勒级数证 lim⁡(ex−1)/x=1\lim (e^x - 1)/x = 1。
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  40. Ex. 45.40Understanding
    证 lim⁡x→0(ax−1)/x=ln⁡a\lim_{x \to 0} (a^x - 1)/x = \ln a。
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  41. Ex. 45.41Challenge
    lim⁡x→0(tan⁡x−sin⁡x)/x3\lim_{x \to 0} (\tan x - \sin x)/x^3。（答：1/21/2。）
    Solve online
  42. Ex. 45.42Challenge
    lim⁡x→∞x(ln⁡(x+1)−ln⁡x)\lim_{x \to \infty} x(\ln(x+1) - \ln x)。（答：1。）
    Solve online

参考来源

Updated on 2026-04-30 · Author(s): Clube da Matemática

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