第46课 — 中间值定理（TVI）与应用

TVI 与变体

特例（$k = 0$）：$f(a) \cdot f(b) < 0 \Rightarrow \exists c \in (a, b) : f(c) = 0$。

应用 1：二分法（算法）

若 $f(a) f(b) < 0$：

1. $m = (a+b)/2$。
2. 若 $f(m) = 0$，停。
3. 若 $f(a) f(m) < 0$，在 $[a, m]$ 重复。
4. 否则在 $[m, b]$ 重复。

收敛：每次迭代误差减半，$|c - m_n| \leq (b-a)/2^n$。

应用 2：不动点

若 $g \in C([a, b])$ 且 $g([a, b]) \subseteq [a, b]$，则 $\exists c$ 使 $g(c) = c$。对 $f(x) = g(x) - x$ 用 TVI。

应用 3：方程解的存在性

$\cos x = x$、$e^x = 2x$、$\tan x = x$ 由 TVI 有解。

通过完备性证明

设 $S = \{x \in [a, b] : f(x) < k\}$（设 $f(a) < k < f(b)$）。$S \neq \emptyset$（$a \in S$）有上界。取 $c = \sup S$。由连续性与上确界性质，$f(c) = k$。

为何需要连续性

反例：$f(x) = \mathrm{sgn}(x)$ 在 $[-1, 1]$。$f(-1) = -1$，$f(1) = 1$，但 $f$ 永不取 $0{,}5$。失败因 $f$ 在 0 不连续。

TVI vs TVM

TVI：中间值存在性（$f$ 连续）。 TVM（中值定理，第56课）：中间导数存在性（$f$ 可微）。

不要混淆。TVM 需可微；TVI 仅需连续。