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第47课 — 渐近线与渐近行为

Assíntotas verticais, horizontais, oblíquas. Esboço de gráficos via análise assintótica.

Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math II japonês cap. 5 · Equiv. Klasse 11 alemã análise de funções

AV: x=a,AH: y=L,AO: y=mx+b\text{AV: } x = a, \quad \text{AH: } y = L, \quad \text{AO: } y = mx + b
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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

渐近线——定义与计算

垂直渐近线（AV）

出现处：ff 有极点的点（分母为零、log⁡0\log 0 等）。

水平渐近线（AH）

可有两条 AH（一条 +∞+\infty，一条 −∞-\infty）：例 arctan⁡x\arctan x 有 y=π/2y = \pi/2 和 y=−π/2y = -\pi/2。

斜渐近线（AO）

计算： m=lim⁡x→±∞f(x)x,b=lim⁡x→±∞(f(x)−mx).m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \quad b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx).

两极限均存在且 mm 有限非零，则有 AO。

P(x)/Q(x)P(x)/Q(x) 渐近线表

情形渐近线
deg⁡P<deg⁡Q\deg P < \deg QAH y=0y = 0
deg⁡P=deg⁡Q\deg P = \deg QAH y=y = 首项系数比
deg⁡P=deg⁡Q+1\deg P = \deg Q + 1AO（y=y = 商）
deg⁡P>deg⁡Q+1\deg P > \deg Q + 1无 AO（增长更快）

其他函数

函数渐近线
1/x1/xAV x=0x = 0，AH y=0y = 0
exe^xAH y=0y = 0（x→−∞x \to -\infty）
ln⁡x\ln xAV x=0x = 0
arctan⁡x\arctan xAH y=±π/2y = \pm\pi/2
tan⁡x\tan xAV π/2+kπ\pi/2 + k\pi
1/sin⁡x1/\sin xAV kπk\pi

一般步骤

  1. AV：找 ff 未定义点（分母 = 0）。算单侧极限。
  2. AH：算 lim⁡x→±∞f\lim_{x \to \pm\infty} f。
  3. AO：若无 AH，通过公式算 m,bm, b。

Exercise list

36 exercises · 9 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 2Modeling 8Challenge 1Proof 1
  1. Ex. 47.1Application
    f(x)=1/(x−2)f(x) = 1/(x - 2) 的渐近线。
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  2. Ex. 47.2Application
    f(x)=(3x+1)/(x−2)f(x) = (3x + 1)/(x - 2) 的渐近线。（答：AV x=2x=2，AH y=3y=3。）
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  3. Ex. 47.3ApplicationAnswer key
    f(x)=x2/(x2−1)f(x) = x^2/(x^2 - 1)——渐近线？
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  4. Ex. 47.4Application
    f(x)=(x2+1)/xf(x) = (x^2 + 1)/x——渐近线。（答：AV x=0x=0，AO y=xy=x。）
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  5. Ex. 47.5ApplicationAnswer key
    f(x)=x+1/xf(x) = x + 1/x——渐近线。
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  6. Ex. 47.6Application
    f(x)=e−xf(x) = e^{-x}——x→∞x \to \infty 的 AH？（答：y=0y = 0。）
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  7. Ex. 47.7Application
    f(x)=tan⁡xf(x) = \tan x——垂直渐近线。（答：x=π/2+kπx = \pi/2 + k\pi。）
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  8. Ex. 47.8Application
    f(x)=arctan⁡xf(x) = \arctan x——±∞\pm\infty 的 AH？（答：y=±π/2y = \pm\pi/2。）
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  9. Ex. 47.9Application
    f(x)=x2+1f(x) = \sqrt{x^2 + 1}——斜渐近线？（答：y=±xy = \pm x。）
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  10. Ex. 47.10Application
    f(x)=(x3−1)/(x2−1)f(x) = (x^3 - 1)/(x^2 - 1)——渐近线。（答：AV x=−1x=-1，AO y=xy=x。）
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  11. Ex. 47.11ApplicationAnswer key
    f(x)=(2x2−3)/(x2+1)f(x) = (2x^2 - 3)/(x^2 + 1)——渐近线。
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  12. Ex. 47.12Application
    f(x)=(x2−4)/(x−2)f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)——渐近线？（注意：x=2x=2 处可去。）
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  13. Ex. 47.13Application
    画 f(x)=(x+1)/(x−1)f(x) = (x+1)/(x-1)，识别 AV 与 AH。
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  14. Ex. 47.14Application
    f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x——x=0x = 0 处 AV？类型？（答：lim⁡ln⁡x=−∞\lim \ln x = -\infty。）
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  15. Ex. 47.15Application
    f(x)=ex/xf(x) = e^x/x——渐近线。
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  16. Ex. 47.16ApplicationAnswer key
    f(x)=(x2+x)/(x+1)f(x) = (x^2 + x)/(x + 1)——化简找渐近线。
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  17. Ex. 47.17Application
    f(x)=1/sin⁡xf(x) = 1/\sin x——垂直渐近线。（答：x=kπx = k\pi。）
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  18. Ex. 47.18Application
    f(x)=tanh⁡xf(x) = \tanh x——±∞\pm\infty 的 AH？（答：y=±1y = \pm 1。）
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  19. Ex. 47.19Application
    f(x)=x⋅e−xf(x) = x \cdot e^{-x}——x→+∞x \to +\infty 的 AH。
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  20. Ex. 47.20Application
    f(x)=(x3+1)/(x2+1)f(x) = (x^3 + 1)/(x^2 + 1)——斜渐近线？（答：y=xy = x。）
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  21. Ex. 47.21Application
    画 f(x)=1/(x2−4)f(x) = 1/(x^2 - 4) 识别渐近线。
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  22. Ex. 47.22ApplicationAnswer key
    画 f(x)=x/(x2+1)f(x) = x/(x^2 + 1)。
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  23. Ex. 47.23Application
    画 f(x)=(x2+2x)/(x−1)f(x) = (x^2 + 2x)/(x - 1) 含 AV 与 AO。
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  24. Ex. 47.24Application
    画 f(x)=1/(xln⁡x)f(x) = 1/(x \ln x)——定义域、渐近线。
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  25. Ex. 47.25ModelingAnswer key
    在药动学中 C(t)→0C(t) \to 0——AH y=0y = 0。对 C(t)=C0e−ktC(t) = C_0 e^{-kt} 验证。
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  26. Ex. 47.26Modeling
    在经济学中，C(q)=cq+FC(q) = c q + F 时平均成本 Cˉ(q)=C(q)/q\bar C(q) = C(q)/q 有 AO y=cy = c（边际成本极限）。
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  27. Ex. 47.27Modeling
    正态分布 f(x)=e−x2/2/2πf(x) = e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi}——±∞\pm\infty 处 AH？
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  28. Ex. 47.28Modeling
    RC 中，V(t)→V∞V(t) \to V_\infty——AH V=V∞V = V_\infty。
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  29. Ex. 47.29Modeling
    H(s)=K/(s+1)H(s) = K/(s+1) 的 Bode 图。识别 ω→0\omega \to 0 与 ω→∞\omega \to \infty 时 log-log 中的 AO。
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  30. Ex. 47.30ModelingAnswer key
    Black-Scholes 价 C(S,T)→S−Ke−rTC(S, T) \to S - K e^{-rT} 当 S→∞S \to \infty。SS 中 AO。
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  31. Ex. 47.31Modeling
    逻辑斯蒂种群增长 P(t)→KP(t) \to K——容量 AH。
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  32. Ex. 47.32ModelingAnswer key
    双曲线 x2/a2−y2/b2=1x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1——渐近线 y=±(b/a)xy = \pm (b/a)x。验证。
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  33. Ex. 47.33UnderstandingAnswer key
    证 ff 可有至少 2 条 AV（例：tan⁡x\tan x 有无限多）。
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  34. Ex. 47.34Understanding
    函数能同时（同侧）有 AH 和 AO？（答：否。）
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  35. Ex. 47.35Challenge
    f(x)=(x4+1)/(x3−1)f(x) = (x^4 + 1)/(x^3 - 1)——渐近线？
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  36. Ex. 47.36Proof
    证：若 ff 有 AO y=mx+by = mx + b，则 lim⁡f/x=m\lim f/x = m 与 lim⁡(f−mx)=b\lim (f - mx) = b。
    Solve online

参考来源

Updated on 2026-04-30 · Author(s): Clube da Matemática

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