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第48课 — 三角函数极限

Manipulação de limites trig. Identidades aplicadas a sin x/x, 1−cos x, tan x e variantes.

Used in: 2.º ano do EM (16 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 4 · Equiv. Klasse 11 alemã (Grenzwerte trigonometrischer Funktionen)

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k, \quad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

三角操作

基本三角极限

极限	值
$\lim_{x \to 0} \sin x / x$	$1$
$\lim_{x \to 0} \sin(kx)/x$	$k$
$\lim_{x \to 0} \tan x / x$	$1$
$\lim_{x \to 0} (1 - \cos x)/x$	$0$
$\lim_{x \to 0} (1 - \cos x)/x^2$	$1/2$
$\lim_{x \to 0} \sin^2 x / x^2$	$1$
$\lim_{x \to 0} \arcsin x / x$	$1$
$\lim_{x \to 0} \arctan x / x$	$1$

有用恒等式

$1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$
$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
$\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
$1 - \cos x = (1 - \cos^2 x)/(1 + \cos x) = \sin^2 x / (1 + \cos x)$

技巧

替换 $u$ ： $\sin(2x)/x = 2 \cdot \sin(2x)/(2x) \to 2$ 。
恒等式重写为基本形式。
共轭： $1 - \cos x = \sin^2 x / (1 + \cos x)$ 。
夹逼： $-1 \leq \sin x \leq 1$ ，乘以 $\to 0$ 的东西。

$\lim (1 - \cos x)/x^2 = 1/2$ 证明

$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{2 \sin^2(x/2)}{x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^2(x/2)}{(x/2)^2} \to \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$ 。

$\lim \tan x / x = 1$ 证明

$\tan x / x = (\sin x / x) \cdot (1 / \cos x) \to 1 \cdot 1 = 1$ 。

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 30Understanding 2Modeling 6Challenge 2

Ex. 48.1Application
$\lim_{x \to 0} \sin(7x)/x$ 。（答：7。）
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Ex. 48.2Application
$\lim_{x \to 0} \sin(3x)/\sin(5x)$ 。（答： $3/5$ 。）
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Ex. 48.3Application
$\lim_{x \to 0} \tan(2x)/\sin(3x)$ 。（答： $2/3$ 。）
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Ex. 48.4Application
$\lim_{x \to 0} \sin^2 x / x$ 。（答：0。）
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Ex. 48.5ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 0} (1 - \cos(2x))/x^2$ 。（答：2。）
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Ex. 48.6Application
$\lim_{x \to \pi/2} (1 - \sin x)/(\pi/2 - x)^2$ 。（答： $1/2$ 。）
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Ex. 48.7Application
$\lim_{x \to 0} (\tan x - \sin x)/x^3$ 。（答： $1/2$ 。）
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Ex. 48.8ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 0} \arcsin(2x)/x$ 。（答：2。）
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Ex. 48.9Application
$\lim_{x \to 0} \arctan(3x)/\sin(2x)$ 。（答： $3/2$ 。）
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Ex. 48.10Application
$\lim_{x \to \pi} \sin x/(x - \pi)$ 。（答： $-1$ 。）
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Ex. 48.11Application
$\lim_{x \to 0} (\cos x - 1)/(\sin x)$ 。（答：0。）
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Ex. 48.12Application
$\lim_{x \to 0} x \cdot \cot x$ 。（答：1。）
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Ex. 48.13Application
$\lim_{x \to 0} \sin(x^3)/x$ 。（答：0。）
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Ex. 48.14ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 0} \sin(x)\sin(2x)/x^2$ 。（答：2。）
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Ex. 48.15ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 0} (1 - \cos(3x))/(1 - \cos(2x))$ 。（答： $9/4$ 。）
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Ex. 48.16Application
$\lim_{x \to 0} (1 - \cos x)/x$ 。（答：0。）
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Ex. 48.17ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 0} \sin(5x) \cdot \cot(3x)$ 。（答： $5/3$ 。）
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Ex. 48.18ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 0} (\cos x - \cos(3x))/x^2$ 。（答：4。）
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Ex. 48.19Application
$\lim_{x \to 0} \sin(\pi x)/\sin(\pi(1-x))$ 。
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Ex. 48.20Application
$\lim_{x \to 0} \sin(\sin x)/x$ 。（答：1。）
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Ex. 48.21Application
$\lim_{x \to \pi/4} (\tan x - 1)/(x - \pi/4)$ 。（答：2。）
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Ex. 48.22ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to \pi/2} \cos x / (x - \pi/2)$ 。（答： $-1$ 。）
Solve online
Ex. 48.23Application
$\lim_{x \to 0} (\sec x - 1)/x^2$ 。（答： $1/2$ 。）
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Ex. 48.24Application
$\lim_{x \to 0} (\tan^2 x)/x^2$ 。（答：1。）
Solve online
Ex. 48.25Application
$\lim_{x \to 0} (1 - \cos x \cdot \cos(2x))/x^2$ 。（答： $5/2$ 。）
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Ex. 48.26ApplicationAnswer key
$\lim_{x \to 0} \sin(\pi - x)/x$ 。
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Ex. 48.27Application
$\lim_{x \to 0} (\sin(a+x) - \sin a)/x$ 。（答： $\cos a$ 。）
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Ex. 48.28Application
$\lim_{x \to 0} (\cos(a+x) - \cos a)/x$ 。（答： $-\sin a$ 。）
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Ex. 48.29Application
$\lim_{x \to 0} \sin x \cdot \ln(1+x)/x^2$ 。（答：1。）
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Ex. 48.30Application
$\lim_{x \to 0} (e^x - \cos x)/x$ 。（答：1。）
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Ex. 48.31ModelingAnswer key
控制中， $H(s)$ 在 $j\omega$ 极点——共振时 $\to \infty$ 极限。
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Ex. 48.32Modeling
小角度 $\sin x \approx x - x^3/6$ 近似。 $x = 0{,}1$ 相对误差？
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Ex. 48.33Modeling
力学中钟摆： $\ddot \theta = -(g/L) \sin \theta \approx -(g/L)\theta$ 小角度。通过极限证。
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Ex. 48.34Modeling
折射： $n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$ 。傍轴近似 $n_1 \theta_1 \approx n_2 \theta_2$ 。
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Ex. 48.35Modeling
AM 信号 $V(t) = (1 + m \cos(\omega_m t)) \cos(\omega_c t)$ 。小 $m$ 通过极限展开。
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Ex. 48.36Modeling
单缝衍射： $(\sin u/u)^2$ 模式， $u = \pi a \sin\theta/\lambda$ 。 $\theta = 0$ 极限。
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Ex. 48.37Understanding
通过变量替换证 $\lim_{x \to 0} \sin(kx)/x = k$ 。
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Ex. 48.38Understanding
用恒等式 $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ 证 $(1 - \cos x)/x^2 \to 1/2$ 。
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Ex. 48.39Challenge
$\lim_{x \to 0} (\sin(\sin x) - x)/x^3$ 。
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Ex. 48.40ChallengeAnswer key
$\lim_{x \to 0} (\cos(\sin x) - \cos x)/x^4$ 。
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参考来源

Active Calculus — Boelkins · 2024 · §1.8。
APEX Calculus — Hartman · 2024 · §1.5。
Calculus (Volume 1) — OpenStax · 2016 · §2.6。