第49课 — 序列极限（形式化）

序列、收敛与定理

关键定理

柯西

$\mathbb{R}$ 中：柯西 $\iff$ 收敛（完备性）。 $\mathbb{Q}$ 中：并非每个柯西都收敛（$a_n$ 逼近 $\sqrt 2$）。

单调 + 有界

• $(a_n)$ 递增上界 $\Rightarrow$ 收敛于 $\sup a_n$。
• $(a_n)$ 递减下界 $\Rightarrow$ 收敛于 $\inf a_n$。

子序列

$(a_{n_k})$ 是 $(a_n)$ 的子序列若 $n_1 < n_2 < \ldots$。 $\lim a_n = L \Rightarrow$ 每个子列 $\lim a_{n_k} = L$。

发散序列

• $a_n = (-1)^n$：在 $-1$ 与 $1$ 间振荡。子列收敛（$\pm 1$），但 $a_n$ 不。
• $a_n = n$：无界增长（$\to +\infty$）。
• $a_n = n \sin(n)$：不规则，无极限。

递归序列

$a_{n+1} = f(a_n)$，给定 $a_0$。若极限存在，是 $f$ 的不动点：$L = f(L)$。