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v1 · padrão canônico

第50课 — 第五学期巩固：极限与连续性

Workshop integrador. Limites ε-δ, propriedades, fundamentais, continuidade, TVI, assíntotas, sequências.

Used in: 2.º ano EM (16-17 anos) · Equiv. Analysis I (Gymnasium alemão) · Equiv. Math II japonês — seção limites

lim⁡x→af(x)=L  ⟺  ∀ε>0,∃δ>0:0<∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−L∣<ε\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon
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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

第五学期综合与地图

你完成了微积分的严格基础。覆盖地图：

课主题关键概念
41正式极限\eps\eps-δ\delta
42性质加、积、商、夹逼
43连续性lim⁡f=f(a)\lim f = f(a)，不连续类型
44单侧与无穷通过单侧的存在性
45重要极限sin⁡x/x\sin x/x、(1+1/n)n(1+1/n)^n、(ex−1)/x(e^x-1)/x
46TVI根存在、二分
47渐近线AV、AH、AO
48三角sin⁡,cos⁡,tan⁡\sin, \cos, \tan 操作
49序列柯西、Bolzano-Weierstrass

定理总表

定理假设结论
夹逼g≤f≤hg \leq f \leq h，lim⁡g=lim⁡h=L\lim g = \lim h = Llim⁡f=L\lim f = L
TVIf∈C([a,b])f \in C([a,b])，kk 在 f(a),f(b)f(a), f(b) 间∃c:f(c)=k\exists c : f(c) = k
Weierstrassf∈C([a,b])f \in C([a,b])ff 取 max 与 min
Bolzano-Weierstrass(an)(a_n) 有界有收敛子列
Heine-Cantorf∈C([a,b])f \in C([a,b])ff 一致连续
柯西R\mathbb{R} 中 (an)(a_n) 柯西收敛
单调有界递增上界收敛

下一步

导数（第6学期）——定义为极限： f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h.f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.

第5学期的极限熟练度将直接用于此。

操作备忘录

形式技巧
多项式 0/00/0因式分解约简
含根 0/00/0共轭
三角 0/00/0重要极限
有理 ∞/∞\infty/\infty除以最高次
1∞1^\inftyAB=eBln⁡AA^B = e^{B \ln A}
0⋅∞0 \cdot \infty重写为商
∞−∞\infty - \infty公因子、共轭

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 3Modeling 8Challenge 4Proof 3
  1. Ex. 50.1Application
    lim⁡x→2(3x2−x+1)\lim_{x \to 2} (3x^2 - x + 1)。（答：11。）
    Solve online
  2. Ex. 50.2Application
    lim⁡x→1(x2−1)/(x−1)\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)/(x - 1)。（答：2。）
    Solve online
  3. Ex. 50.3Application
    lim⁡x→0sin⁡(5x)/x\lim_{x \to 0} \sin(5x)/x。（答：5。）
    Solve online
  4. Ex. 50.4Application
    lim⁡x→0(1−cos⁡x)/x2\lim_{x \to 0} (1 - \cos x)/x^2。（答：1/21/2。）
    Solve online
  5. Ex. 50.5Application
    lim⁡x→∞(1+3/x)x\lim_{x \to \infty} (1 + 3/x)^x。（答：e3e^3。）
    Solve online
  6. Ex. 50.6Application
    lim⁡x→∞(2x2+x)/(x2−5)\lim_{x \to \infty} (2x^2 + x)/(x^2 - 5)。（答：2。）
    Solve online
  7. Ex. 50.7Application
    lim⁡x→0+xln⁡x\lim_{x \to 0^+} x \ln x。（答：0。）
    Solve online
  8. Ex. 50.8Application
    f(x)=(x2+1)/(x−2)f(x) = (x^2 + 1)/(x - 2) 的渐近线。（答：AV x=2x = 2，AO y=x+2y = x + 2。）
    Solve online
  9. Ex. 50.9Application
    f(x)=(x2−9)/(x−3)f(x) = (x^2 - 9)/(x - 3) 在 x=3x = 3 连续？修正。（答：f(3)=6f(3) = 6。）
    Solve online
  10. Ex. 50.10Application
    lim⁡x→0(e2x−1)/(sin⁡(3x))\lim_{x \to 0} (e^{2x} - 1)/(\sin(3x))。（答：2/32/3。）
    Solve online
  11. Ex. 50.11Application
    lim⁡n!/nn\lim n!/n^n。（答：0。）
    Solve online
  12. Ex. 50.12ApplicationAnswer key
    求 aa 使 f(x)={x+ax<0x2+1x≥0f(x) = \begin{cases} x + a & x < 0 \\ x^2 + 1 & x \geq 0 \end{cases} 连续。（答：a=1a = 1。）
    Solve online
  13. Ex. 50.13Application
    lim⁡x→0(tan⁡x−x)/x3\lim_{x \to 0} (\tan x - x)/x^3。（答：1/31/3。）
    Solve online
  14. Ex. 50.14ApplicationAnswer key
    lim⁡x→0(1−cos⁡(2x))/(x2)\lim_{x \to 0} (1 - \cos(2x))/(x^2)。
    Solve online
  15. Ex. 50.15Application
    lim⁡x→∞x2+x−x\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + x} - x。（答：1/21/2。）
    Solve online
  16. Ex. 50.16Application
    lim⁡n→∞(1−2/n)n\lim_{n \to \infty} (1 - 2/n)^n。（答：e−2e^{-2}。）
    Solve online
  17. Ex. 50.17Application
    lim⁡x→0ln⁡(1+5x)/x\lim_{x \to 0} \ln(1+5x)/x。（答：5。）
    Solve online
  18. Ex. 50.18Application
    f(x)=arctan⁡x+1/xf(x) = \arctan x + 1/x 的渐近线。（答：AV x=0x=0，AH y=±π/2y = \pm \pi/2。）
    Solve online
  19. Ex. 50.19Application
    lim⁡x→π/2−tan⁡x⋅(π/2−x)\lim_{x \to \pi/2^-} \tan x \cdot (\pi/2 - x)。（答：1。）
    Solve online
  20. Ex. 50.20ApplicationAnswer key
    lim⁡n→∞∑k=1n1/n⋅1/(1+(k/n)2)\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n 1/n \cdot 1/(1 + (k/n)^2)。（答：通过积分 π/4\pi/4。）
    Solve online
  21. Ex. 50.21Application
    f(x)={sin⁡x/xx≠01x=0f(x) = \begin{cases} \sin x / x & x \neq 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases}。在 0 连续？（答：是。）
    Solve online
  22. Ex. 50.22ModelingAnswer key
    x3−2x−1=0x^3 - 2x - 1 = 0 在 (1,2)(1, 2) 有根？TVI。（答：是。）
    Solve online
  23. Ex. 50.23Modeling
    证 cos⁡x=x2\cos x = x^2 在 (0,1)(0, 1) 有解。
    Solve online
  24. Ex. 50.24Modeling
    f(x)=ex−x−2f(x) = e^x - x - 2 在 R+\mathbb{R}^+ 有根？哪里？
    Solve online
  25. Ex. 50.25Application
    f(x)=(x2−4)/(x2−5x+6)f(x) = (x^2 - 4)/(x^2 - 5x + 6) 在哪不连续？类型？
    Solve online
  26. Ex. 50.26ModelingAnswer key
    RC 中：V(t)=V∞(1−e−t/RC)V(t) = V_\infty (1 - e^{-t/RC})。lim⁡t→∞V(t)=V∞\lim_{t \to \infty} V(t) = V_\infty。验证。99%99\% V∞V_\infty 时间？
    Solve online
  27. Ex. 50.27ModelingAnswer key
    放射衰变中，N(t)=N0e−t/τN(t) = N_0 e^{-t/\tau}。用 τ\tau 表半衰期。t→∞t \to \infty 极限？
    Solve online
  28. Ex. 50.28ModelingAnswer key
    控制中，H(s)=(s+1)/(s2+4s+5)H(s) = (s+1)/(s^2 + 4s + 5)。算 H(0)H(0)、lim⁡∣s∣→∞H(s)\lim_{|s| \to \infty} H(s)。
    Solve online
  29. Ex. 50.29Modeling
    金融中，欧式期权 C(S,T)→SC(S, T) \to S 当 S→∞S \to \infty。通过 Black-Scholes 公式中极限确认。
    Solve online
  30. Ex. 50.30Modeling
    优化中，梯度下降 wn+1=wn−α∇f(wn)w_{n+1} = w_n - \alpha \nabla f(w_n) 在 ff 凸 LL-Lipschitz、α<2/L\alpha < 2/L 时收敛。通过序列分析证。
    Solve online
  31. Ex. 50.31UnderstandingAnswer key
    构造处处不连续 ff（狄利克雷）并说明。
    Solve online
  32. Ex. 50.32UnderstandingAnswer key
    通过 Bolzano-Weierstrass 证 sin⁡n\sin n 有收敛子列。
    Solve online
  33. Ex. 50.33Understanding
    证 f∈C([a,b])f \in C([a, b]) 一致连续（Heine-Cantor）。
    Solve online
  34. Ex. 50.34Proof
    证 lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L 当且仅当两个单侧极限存在且等于 LL。
    Solve online
  35. Ex. 50.35Proof
    证 f∈C([a,b])f \in C([a,b]) 有界。
    Solve online
  36. Ex. 50.36Proof
    证递增有界序列是柯西。
    Solve online
  37. Ex. 50.37ChallengeAnswer key
    lim⁡x→0(sin⁡x)1/x\lim_{x \to 0} (\sin x)^{1/x}。存在？算单侧。
    Solve online
  38. Ex. 50.38Challenge
    lim⁡n→∞(n!)1/n2\lim_{n \to \infty} (n!)^{1/n^2}。
    Solve online
  39. Ex. 50.39Challenge
    f(x)=xcos⁡(1/x)f(x) = x \cos(1/x) 若 x≠0x \neq 0，f(0)=0f(0) = 0。证 ff 在 0 连续但不可微。
    Solve online
  40. Ex. 50.40Challenge
    通过斯特林 lim⁡x→∞ln⁡(Γ(x))/(xln⁡x)\lim_{x \to \infty} \ln(\Gamma(x))/(x \ln x)。（答：1。）
    Solve online

参考来源

Updated on 2026-04-30 · Author(s): Clube da Matemática

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