第51课 — 导数：通过极限的定义

使用导数定义计算 $f(x) = x^2$ 在 $f'(3)$。（答：$6$。）

使用定义计算 $f(x) = x^3$ 的 $f'(a)$。（答：$3a^2$。）

通过定义计算 $f(x) = c$（实常数）的 $f'(a)$。（答：$0$。）

通过定义计算仿射函数 $f(x) = mx + b$ 的 $f'(a)$。（答：$m$。）

通过定义计算 $f(x) = 2x^2 + 3x$ 在 $f'(2)$。（答：$11$。）

通过定义计算 $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ 在 $f'(1)$。（答：$-1$。）

通过定义计算导数函数 $f'(x)$，$f(x) = 2x^2 - x + 3$。（答：$4x - 1$。）

使用定义计算 $f(x) = x^4$ 的 $f'(a)$。（答：$4a^3$。）

通过定义计算 $f(x) = x^2 - x$ 在 $f'(0)$。（答：$-1$。）

通过定义计算 $f(x) = 2x^3 - 2x$ 的 $f'(a)$。（答：$6a^2 - 2$。）

通过定义计算 $f(x) = 1/x$ 在 $f'(2)$。（答：$-1/4$。）

通过定义计算 $f(x) = \sqrt{x}$ 在 $f'(4)$。（答：$1/4$。）

通过定义计算 $f(x) = 1/x$ 在 $f'(1)$ 并写出 $x = 1$ 处切线的方程。（答：$f'(1) = -1$；切线 $y = -x + 2$。）

确定 $y = x^2$ 在点 $x = 2$ 处的切线方程。

确定 $y = 1/x$ 在点 $x = 1$ 处的切线方程。

对于 $f(x) = x^2 - 4x$，在哪个 $x$ 值处切线是水平的？也确定图像上的点。（答：$x = 2$；点 $(2, -4)$。）

通过定义计算 $f(x) = \sqrt{x}$ 在 $f'(9)$。（答：$1/6$。）

通过定义计算 $f(x) = 1/x^2$ 的 $f'(a)$。（答：$-2/a^3$。）

$y = x^3$ 在 $x = 2$ 处的切线方程。

确定 $y = x^2$ 在点 $x = 1$ 处的法线方程。（答：$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$。）

函数 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处可微吗？通过计算侧导数来证明。

函数 $f(x) = x|x|$ 在 $x = 0$ 处可微吗？（答：是的，$f'(0) = 0$。）

分析 $f(x) = \sqrt[3]{x}$ 在 $x = 0$。差分商的极限存在吗？（答：$+\infty$ — 竖直切线。）

设 $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 1 \\ 3x - 2 & x > 1 \end{cases}$。$f$ 在 $x = 1$ 处可微吗？计算侧导数。（答：不可微；$f'_-(1) = 2 \neq 3 = f'_+(1)$。）

设 $f(x) = x^2\sin(1/x)$（当$x \neq 0$）且 $f(0) = 0$。证明 $f'(0) = 0$。（答：使用夹挤定理 — $|h\sin(1/h)| \leq |h| \to 0$。）

设 $f(x) = x\sin(1/x)$（当$x \neq 0$）且 $f(0) = 0$。函数在 $x = 0$ 处可微吗？

设 $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \geq 0 \\ -x^2 & x < 0 \end{cases}$。通过侧导数计算 $f'(0)$。（答：$f'(0) = 0$。）

从几何角度解释：$f'(a) > 0$、$f'(a) < 0$ 和 $f'(a) = 0$ 分别意味着什么？

可微性和连续性之间的正确关系是什么？

用数值例子解释为什么中心差 $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ 在数值上比前向差 $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 更精确。

一个物体的位置为 $s(t) = 2t^2$ 米。它在 $t = 2$ 秒时的瞬时速度是多少？

位置 $s(t) = t^2 + 5t$ 米。通过导数定义计算 $t = 3$ 秒时的瞬时速度。（答：$11$ 米/秒。）

成本 $C(q) = q^2 + 30q + 500$ 元。在 $q = 50$ 单位处的边际成本是多少？

种群 $P(t) = 100 + 5t^2$ 个个体。通过导数定义计算 $t = 4$ 年时的增长率。（答：$40$ 个个体/年。）

在机器学习中，损失函数为 $L(\theta) = (\theta - 3)^2$。通过定义计算 $L'(\theta)$ 并找到最小化 $L$ 的 $\theta$。（答：$L'(\theta) = 2\theta - 6$；最小值在 $\theta = 3$。）

电荷 $q(t) = t^2 + 2t$ 库仑。电流 $i(t) = q'(t)$。计算 $i(2)$。

球体体积 $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$。计算在 $r = 2$ 厘米处体积相对于半径的变化率。（答：$16\pi$ 立方厘米/厘米。额外：将结果与表面积关联。）

确定 $k$ 使得 $f(x) = x^2 + kx$ 在点 $x = -3/2$ 处有水平切线。（答：$k = 3$。）

证明若 $f$ 是偶函数且在 $x = 0$ 处可微，则 $f'(0) = 0$。（提示：使用侧导数的定义和性质 $f(-x) = f(x)$。）

设 $h(x) = f(x) + g(x)$，其中 $f$ 和 $g$ 在 $a$ 处可微。使用导数的定义证明 $h'(a) = f'(a) + g'(a)$（和规则）。