第52课 — 求导法则

计算$(x^5)'$。

计算$f(x) = 3x^2 - 4x + 1$的导数。

计算$(\sqrt{x})'$。提示：写成$x^{1/2}$并应用R2。

计算$\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'$。

计算$f'(x)$当$f(x) = 4x^5 - 3x^3 + 7x - 2$时。

计算$\left(-\dfrac{1}{x^3}\right)'$。

计算$f'(x)$当$f(x) = x^2\sqrt{x} - x\sqrt{x}$时。

计算$f'(x)$当$f(x) = x^3 + 2x$时。

计算$\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)'$。

计算$g'(x)$当$g(x) = 3x^4 - 3x^2$时。

计算$(\sin x \cdot \cos x)'$。

计算$(x e^x)'$。

计算$(x \ln x)'$。

计算$(x^2 \sin x)'$。

计算$(e^x \cos x)'$。

计算$(x^2 e^x)'$。

计算$(\tan x \cdot e^x)'$。

计算$(x \sin x)'$。

计算$(x^3 \ln x)'$。

积法则的推广。 如果$f$、$g$、$h$是可导函数，那么$(fgh)'$是什么？

计算$\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)'$当$x \neq 0$时。

计算$\left(\dfrac{e^x}{x}\right)'$当$x \neq 0$时。

计算$\left(\dfrac{1}{x^2 + 1}\right)'$。

计算$k'(x)$当$k(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$，$x \neq 3$时。

计算$\left(\dfrac{3x^2 - x}{x^2 - 1}\right)'$当$x \neq \pm 1$时。

对$$通过商法则求导，并证明$(\cot x)' = -\csc^2 x$。

对$\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$通过商法则求导，并证明$(\sec x)' = \sec x \tan x$。

计算$\left(\dfrac{x}{x^2 + 1}\right)'$。

找到$f(x) = x^2 + 3x$在点$x = 1$处的切线方程。

$f(x) = x^3 - 3x$的图形在哪些点有水平切线？

一个物体的位置为$s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$米（$t$以秒为单位）。计算$v(t)$和$a(t)$。在$t = 2$处评估，并确定物体何时停止。

成本函数：$C(q) = 500 + 50q + 0{,}1q^2$（雷亚尔）。计算边际成本$C'(q)$并在$q = 100$处评估。

总收入：$R(q) = q(200 - q)$。计算收入边际$R'(q)$并确定最大化收入的数量。

找到$$在$x = 1$处的切线。

对于$s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$，确定：(a) 在$t = 2$处的速度；(b) 物体何时停止。

错误识别。 一个学生计算了$(x^2 \cdot x^3)' = 2x \cdot 3x^2 = 6x^3$。是对的还是错的？合理化并如需要更正。

识别哪个求导规则应用到$h(x) = \dfrac{e^x}{x^2}$，应用它并简化$h'(x)$。

概念。 为什么$e^x$的导数是"特殊的"？用几何和数值术语解释$(e^x)' = e^x$的含义。

挑战：三个函数的乘积。 通过两次应用积法则证明$(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$。

证明。 从导数的极限定义证明积法则$(fg)' = f'g + fg'$。