第54课 — 隐函数求导

对于圆 $x^2 + y^2 = 1$，求 $dy/dx$。

对于椭圆 $x^2/4 + y^2/9 = 1$，计算 $dy/dx$。

对于 $xy = 1$，通过隐函数求导计算 $dy/dx$。验证它与显式求 $y = 1/x$ 的导数一致。

对于双曲线 $x^2/9 - y^2/16 = 1$，计算 $dy/dx$。

对于 $x^3 + y^3 = 6xy$，计算 $dy/dx$。

对于 $x^2 - 2xy + 3y^2 = 1$，计算 $dy/dx$。

对于 $x^2 y + xy^2 = 6$，计算 $dy/dx$。

对于 $\tan y = x$，计算 $dy/dx$。将结果解释为 $\arctan x$ 的导数。

对于 $e^y = xy$，计算 $dy/dx$。

对于 $\ln(xy) = x + y$，计算 $dy/dx$。

对于 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$，计算 $dy/dx$ 并在点 $(1, 9)$ 处评估。

对于 $\cos(x + y) = y$，计算 $dy/dx$。

对于 $\sin(xy) = x$，计算 $dy/dx$。

对于 $y^3 + 3y = x$，计算 $dy/dx$ 并讨论导数是否在所有点存在。

求圆 $x^2 + y^2 = 25$ 在点 $(3, 4)$ 处的切线。

对于椭圆 $x^2 + 4y^2 = 16$，求在点 $(2, \sqrt{3})$ 处的切线。

对于 $x^2 + xy + y^2 = 7$，求在 $(1, 2)$ 处的切线。

对于 $x^3 + y^3 = 9$，求在 $(1, 2)$ 处的切线。

对于 $y\sin x = x\cos y$，计算 $dy/dx$。

对于圆 $x^2 + y^2 = 1$，确定所有水平和竖直切线的点。

对于笛卡尔叶形线 $x^3 + y^3 = 3xy$，计算 $dy/dx$ 并确定水平切线的点。

对于笛卡尔叶形线 $x^3 + y^3 = 3xy$，求在点 $(3/2, 3/2)$ 处的切线。

理想气体定律说 $PV = nRT$。保持 $T$ 常数，使用隐函数求导来求 $dP/dV$。

对于曲线 $y^2 + xy = 12$，确定是否存在水平或竖直切线的点。

在微观经济学中，无差异曲线 $U(x_1, x_2) = \bar{U}$ 描述了使消费者无差异的两种商品的组合。使用隐函数求导，求 $dx_2/dx_1$ —— 边际替代率。

对于柠檬形曲线 $(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2)$，在点 $(\sqrt{3}/2, 1/2)$ 处计算 $dy/dx$。

如果 $y = x^x$ ($x > 0$)，使用对数导数求 $y'$。

如果 $y = x^{\sin x}$ ($x > 0$)，使用对数导数求 $y'$。在 $x = \pi$ 处评估。

对于 $x^2 + y^2 = r^2$，用 $x$、$y$ 和 $r$ 表示 $d^2y/dx^2$。解释对 $y > 0$ 的 $y''$ 的符号。

对于椭圆 $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$，计算 $dy/dx$ 和 $d^2y/dx^2$。

为什么条件 $F_y \neq 0$ 对应用隐函数定理是必要的？

隐函数求导相比分离 $y$ 再显式求导的主要优势是什么？

使用隐函数求导证明圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 的切线总是在切线点处垂直于半径。

对于曲线 $F(x,y)=0$，解释在什么条件下切线存在、可能竖直，以及何时点是奇异的。

验证隐式对 $x^2 + y^2 = r^2$ 求导给出与显式对 $y = \pm\sqrt{r^2-x^2}$ 求导相同的结果。

对 $e^{xy} = x + y$ 隐式地关于 $x$ 求导时，$\frac{d}{dx}[e^y]$ 是什么？为什么不仅仅是 $e^y$？

对于曲线 $x^4 + y^4 = 1$，找到所有水平和竖直切线的点。

对于椭圆 $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$，隐式计算 $y''$ 并使用椭圆方程简化。(Resp: $y'' = -b^4/(a^2 y^3)$.)

对于 $\sin(xy) + \cos(x+y) = 1$，在 $(0, 0)$ 计算 $dy/dx$。解释为什么该点对直接公式是奇异的。

证明。 证明对任意 $a \in \mathbb{R}$ ($x > 0$)，$(x^a)' = ax^{a-1}$，使用 $x^a = e^{a\ln x}$ 和链式法则。解释为什么证明涵盖 $a$ 为无理数的情况。