Lição 55 — Derivadas de ordem superior

设 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5$。计算 $f'(x)$ 和 $f''(x)$。

设 $f(x) = x^5 - 3x^2 + x + 2$。计算 $f''(x)$。

设 $f(x) = \sin x$。计算 $f''(x)$。

设 $f(x) = \cos(2x)$。计算 $f''(x)$。

设 $f(x) = \ln x$。计算 $f''(x)$。

设 $f(x) = xe^x$。计算 $f''(x)$。

设 $f(x) = x^2 \ln x$。计算 $f''(x)$。

设 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$。计算 $f'''(x)$。

设 $f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$。计算 $f''(0)$。

设 $f(x) = \sqrt{x}$。计算 $f''(x)$。

设 $f(x) = \cos(2x)$。计算 $f^{(4)}(x)$。

设 $f(x) = x^4$。计算 $f^{(5)}(x)$。

设 $f(x) = e^{2x}$。确定 $f^{(n)}(x)$ 对所有 $n \geq 1$。

确定 $(\sin x)^{(100)}$。

设 $f(x) = \dfrac{1}{x}$。确定一般公式 $f^{(n)}(x)$。

对于 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$，确定拐点和凹凸区间。

对于 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，确定凹凸区间和拐点。

对于 $f(x) = e^{-x^2}$，计算 $f''(0)$。

对于 $f(x) = x^5 - 5x^4$，确定拐点。

如果 $f''(c) = 0$，我们能得出 $c$ 是 $f$ 的拐点吗？

如果 $f'(c) = 0$ 和 $f''(c) > 0$，关于 $c$ 我们得出什么？

确定 $f(x) = e^x$ 在整个域中的凹凸性。

分析 $f(x) = x^3$ 的凹凸性并识别拐点。

对于 $f(x) = x^4 - 6x^2$，确定凹凸区间和拐点。

解释为什么 $(\sin x)^{(4)} = \sin x$ 和为什么 $(e^x)^{(n)} = e^x$ 对所有 $n \geq 0$。

从乘积法则导出 $(fg)''$ 的公式，并识别与二项式定理的类比。

设 $f(x) = (1 + x)^{10}$。计算 $f^{(10)}(0)$。

粒子的位置：$s(t) = 4t^3 - t^4$（米，$t$ 秒）。计算 $v(1)$、$a(1)$ 和 $j(1)$，并解释 $j(1) = 0$。

摆：$\theta(t) = A\cos(\omega t)$。计算 $\ddot{\theta}$ 并验证 $\ddot{\theta} + \omega^2\theta = 0$。

生产成本：$C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q$（R$千）。计算$C''(q)$ 并将拐点解释为"边际成本最小值"。

车辆位置：$s(t) = 10t^3 - 30t^2 + 5$（米）。计算 $v(t)$、$a(t)$、$j(t)$ 并确定何时加速度为零。

投射体高度：$h(t) = -4.9t^2 + v_0 t + h_0$。计算 $h''(t)$ 并识别其物理意义。

在机械系统中，势能 $U(\theta)$ 在 $\theta_0$ 有临界点。$U''(\theta_0) > 0$ 相对于 $U''(\theta_0) < 0$ 意味着什么关于平衡的稳定性？

使用 $f(x) = e^x$ 在 $a = 0$ 的前三个导数，写出Taylor多项式 $T_2(x)$ 并估计 $x = 0.1$ 的误差。

写出 $f(x) = \cos x$ 在 $a = 0$ 周围的二次Taylor多项式并对 $x = 0.1$ 验证。

计算 $f(x) = \ln(1+x)$ 的 $f^{(n)}(x)$ 并写出在 $a = 0$ 周围的Taylor多项式 $T_n(x)$。

对于 $f(x) = x^x$（$x > 0$），用对数导数计算 $f''(x)$。

陈述Leibniz公式 $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$ 并描述证明它的归纳法论证的结构。

演示。 设 $f$ 在 $[0, 1]$ 上二阶可微，有 $f(0) = f(1) = 0$ 和 $f' \not\equiv 0$。存在 $c \in (0, 1)$ 有 $f''(c) = 0$ 吗？证明。

演示。 证明若 $f$ 二阶可微且 $f''(x) \geq 0$ 在 $(a, b)$，则 $f$ 在 $(a, b)$ 中凸。