v1 · padrão canônico

第58课 — 相关变化率

当两个可变量通过一个方程相关时，它们对时间的变化率也相关。球形气球、滑梯、圆锥形水箱、影子和仰角。

Used in: 高二 (16-17岁) · 日本相当数学II/III · 德国相当 Klasse 11-12

\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\,\frac{dr}{dt}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

一般方法和标准模型

相关变化率的一般策略

识别动态变量（取决于 $t$ ）和问题的常数。
写出几何或物理方程，将变量联系起来——对所有 $t$ 有效。
对 $t$ 求导两边，对每个动态变量使用链式法则。
代入感兴趣时刻的数值（从不在求导前代入）。
分离所需变化率并验证单位和符号。

"当两个量通过一个方程相关时，该量的变化率也相关。我们可以用该方程两边都对时间求导并对时间应用链式法则来找到这个变化率。" — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.1

标准模型

场景	基本方程	动态变量
球形气球	$V = \frac{4}{3}\pi r^3$	$V(t),\; r(t)$
梯子下滑	$x^2 + y^2 = L^2$	$x(t),\; y(t)$
圆锥形水箱	$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$	$V(t),\; r(t),\; h(t)$
两辆汽车分离	$D^2 = x^2 + y^2$	$x(t),\; y(t),\; D(t)$
影子（相似性）	按比例相关	距离、影子
仰角	$\tan\theta = h/x$	$\theta(t),\; x(t)$

链式法则——一般形式

若 $F(x_1(t), \ldots, x_n(t)) = C$ （常数），则：

$\frac{d}{dt}F = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F}{\partial x_i}\,\dot x_i = 0$

对 $t$ 的隐微分。结果是变化率 $\dot x_i$ 中的线性方程，从中分离出所需的。

来源

Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-3-5-related-rates.html
OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-1-related-rates
Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com