Lição 59 — Diferenciabilidade e suavidade

Seja $f(x) = |x|$. Calcule as derivadas laterais $f'_+(0)$ e $f'_-(0)$ pela definição. Conclua sobre diferenciabilidade em $0$.

Seja $f(x) = |x - 3|$. Calcule $f'_+(3)$ e $f'_-(3)$. $f$ é diferenciável em $x = 3$?

Seja $f(x) = x|x|$. Determine $f'(0)$ usando a definição.

Seja $f(x) = x^{1/3}$. Calcule $f'(0)$ pela definição. O que a resposta indica geometricamente?

Seja $f(x) = x^{2/3}$. Analise a diferenciabilidade em $0$ calculando as derivadas laterais pela definição.

Seja $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$. Calcule $f'_+(0)$ e $f'_-(0)$. $f$ é diferenciável em $0$?

Seja $f(x) = x\sin(1/x)$ para $x \neq 0$ e $f(0) = 0$. Verifique se $f$ é contínua em $0$ e se é diferenciável em $0$.

Seja $f(x) = x^2\sin(1/x)$ para $x \neq 0$ e $f(0) = 0$. Mostre que $f'(0) = 0$ usando o teorema do sanduíche.

Seja $f(x) = \max(x, 0)$ (função ReLU). Calcule $f'_+(0)$ e $f'_-(0)$. $f$ é diferenciável em $0$?

Seja $f(x) = \min(x, 1-x)$. Em que ponto $f$ tem um bico? Verifique calculando as derivadas laterais nesse ponto.

Seja $\text{sgn}(x) = x/|x|$ para $x \neq 0$ e $\text{sgn}(0) = 0$. É contínua em $0$? É diferenciável em $0$?

Onde a função parte inteira $f(x) = \lfloor x \rfloor$ é diferenciável? Onde não é? Justifique em cada caso.

Seja $f(x) = |x|^3$. Calcule $f'(0)$ e $f''(0)$ pela definição do limite.

Seja $f(x) = x^2$ se $x \in \mathbb{Q}$ e $f(x) = 0$ se $x \notin \mathbb{Q}$. Determine se $f$ é diferenciável em $0$.

Seja $f(x) = \sqrt{|x|}$. Calcule $f'(0)$ pela definição. Identifique o tipo de ponto de não-diferenciabilidade.

Seja $f(x) = x^2\sin(1/x)$ para $x \neq 0$ e $f(0) = 0$. Mostre que $f$ é diferenciável em $0$, mas que $f' \notin C^0$. Que classe $C^k$ máxima tem $f$?

Encontre $a$ e $b$ tais que $f(x) = \begin{cases} ax + b, & x \leq 1 \\ x^2, & x > 1 \end{cases}$ seja $C^1$ em $\mathbb{R}$.

Encontre $c, d$ tais que $f(x) = \begin{cases} cx + d, & x \leq 1 \\ 3x^2 - 2, & x > 1 \end{cases}$ seja $C^1$ em $1$.

Encontre $a, b$ tais que $f(x) = \begin{cases} ax + b, & x \leq 0 \\ \sin x, & x > 0 \end{cases}$ seja $C^1$ em $0$.

Onde $f(x) = (x-2)^{1/3}$ não é diferenciável? Identifique o tipo de ponto.

Seja $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ \sin x, & x \geq 0 \end{cases}$. $f$ é $C^0$ em $0$? É $C^1$ em $0$?

Um polinômio cúbico $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ pertence a qual classe $C^k$? Por que a resposta não é $C^3$?

Onde $f(x) = |x^2 - 1|$ tem bicos? Calcule as derivadas laterais em cada ponto para confirmar.

Um spline cúbico é formado por $S_1(x)$ em $[0,1]$ e $S_2(x)$ em $[1,2]$. Quais condições em $x = 1$ garantem que o spline total é $C^2$? Liste todas as equações.

Seja $f(x) = x|\sin x|$. Em que pontos $f$ tem bicos? Esboce o argumento para os pontos $x = n\pi$.

Seja $f(x) = x|x|$. Calcule $f'(x)$ para todo $x$ e mostre que $f \in C^1$.

Analise a diferenciabilidade de $f(x) = |\sin x|$ em todo $\mathbb{R}$. Em que pontos $f$ tem bicos?

Seja $p(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7$. Qual é a classe de regularidade $C^k$ de $p$ em $\mathbb{R}$? Justifique.

O payoff de uma opção call europeia no vencimento é $V(S) = \max(S - K, 0)$. (a) Identifique o ponto de não-diferenciabilidade. (b) Calcule $V'_-(K)$ e $V'_+(K)$. (c) O que acontece com o Greek Delta $\Delta = \partial V/\partial S$ nesse ponto?

Em aprendizado de máquina, a função de ativação ReLU é $f(x) = \max(0, x)$. Por que o algoritmo SGD funciona mesmo ReLU não sendo diferenciável em $0$?

Em engenharia estrutural, um cabo elástico com nó tem deslocamento $u(x)$ contínuo mas inclinação $u'(x)$ com salto no nó. (a) Qual a classe de regularidade de $u$? (b) O que o bico no gráfico de $u$ representa fisicamente?

Um spline cúbico natural em $[0,1]$ com nó em $1/2$ impõe quais condições de regularidade? Qual é a classe $C^k$ resultante? Por que $C^2$ e não $C^3$?

Numa equação de onda $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ com dado inicial descontínuo (função degrau), que regularidade se espera da solução $u(x,t)$? Por que uma solução $C^2$ não existe?

A recíproca de "diferenciável $\Rightarrow$ contínua" é verdadeira? Qual é o contraexemplo mais simples?

Seja $f(x) = x|x|$. Qual a classe $C^k$ máxima de $f$? Calcule $f'(x)$ para todo $x$ para justificar.

A função de Cantor (escada do diabo) satisfaz: contínua em $[0,1]$, $f(0) = 0$, $f(1) = 1$, e $f'(x) = 0$ quase em todo ponto. Por que o Teorema Fundamental do Cálculo não se aplica?

Existe função contínua em $\mathbb{R}$ que não é diferenciável em nenhum ponto? Descreva a construção principal.

Seja $f(x) = e^{-1/x^2}$ para $x \neq 0$ e $f(0) = 0$. Mostre que $f \in C^\infty$ e que $f^{(n)}(0) = 0$ para todo $n \geq 0$. O que isso implica sobre a série de Taylor de $f$ em $0$?

Demonstre: se $f$ é diferenciável em $a$, então $f$ é contínua em $a$.

Demonstre que se $f \in C^1[a,b]$, então $f$ é Lipschitz em $[a,b]$. (Dica: use o Teorema do Valor Médio e o fato de que $f'$ é limitada em compacto.)