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v1 · padrão canônico

Lição 61 — Máximos e mínimos

Pontos críticos, Teorema de Fermat, testes da 1ª e 2ª derivada, e o algoritmo de extremos absolutos em intervalos fechados.

Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math II/III japonês · Equiv. Analysis/Kurvendiskussion alemã

f(c)=0    c 极值的候选点f'(c) = 0 \;\Longrightarrow\; c \text{ 极值的候选点}
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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

定义、定理和算法

局部极值和绝对极值

"若 f 在 c 处有局部最大值或最小值,则 c 是 f 的临界点。" — Active Calculus §3.1

第一导数测试

第二导数测试

"当第二导数测试不确定时,我们诉诸第一导数测试。" — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.5

极值的Weierstrass定理(极值定理)

[a, b] 上绝对极值的算法

局部最小局部最小局部最大局部最大ab

局部极值出现在临界点处(其中 )。绝对极值可能是局部极值,也可能在端点 处。

已解答的例子

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 3Modeling 3Challenge 1Proof 2
  1. Ex. 61.1Application

    确定 的临界点,并用第二导数测试将其分类。

  2. Ex. 61.2Application

    分类 的临界点。

  3. Ex. 61.3ApplicationAnswer key

    找出 上的绝对极值。

  4. Ex. 61.4ApplicationAnswer key

    的所有临界点进行分类。

  5. Ex. 61.5Application

    确定 上的绝对极值。

  6. Ex. 61.6ApplicationAnswer key

    找出并分类 的临界点。

  7. Ex. 61.7Application

    分析 的临界点。

  8. Ex. 61.8Application

    的临界点进行分类。

  9. Ex. 61.9Application

    找出 上的绝对极值。

  10. Ex. 61.10Application

    确定 上的绝对极值。

  11. Ex. 61.11Application

    确定 上的绝对极值。

  12. Ex. 61.12ApplicationAnswer key

    确定 上的绝对极值。

  13. Ex. 61.13Understanding

    ,则点 是:

  14. Ex. 61.14Understanding

    关于费马定理,哪个说法是正确的?

  15. Ex. 61.15Understanding

    ,正确的结论是:

  16. Ex. 61.16Application

    确定 上的绝对极值。

  17. Ex. 61.17Application

    确定 的局部极值。

  18. Ex. 61.18Application

    的局部极值进行分类。

  19. Ex. 61.19ApplicationAnswer key

    确定 上的绝对极值。

  20. Ex. 61.20Application

    确定 的极值(高斯曲线)。

  21. Ex. 61.21Application

    找出 上的绝对极值。

  22. Ex. 61.22Application

    确定 上的绝对极值。

  23. Ex. 61.23Modeling

    一家公司销售一种产品,需求为 单位,当价格为 雷亚尔时。哪个价格 最大化总收入?

  24. Ex. 61.24Modeling

    一家工厂的成本为 (雷亚尔),收入为 ,生产 个单位。生产多少单位可最大化利润?

  25. Ex. 61.25Modeling

    一枚模型火箭垂直发射,其高度(以米计)为 。确定达到的最大高度。

  26. Ex. 61.26Application

    找出 时的局部最小值。

  27. Ex. 61.27Application

    确定 上的绝对极值。

  28. Ex. 61.28ProofAnswer key

    证明费马定理:若 处有局部最大值且在 处可导,则

  29. Ex. 61.29ProofAnswer key

    证明 处有临界点,但该点不是局部极值。

  30. Ex. 61.30Challenge

    证明 有唯一临界点,且这是函数的全局最小值。

来源

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

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