Lição 61 — Máximos e mínimos
Pontos críticos, Teorema de Fermat, testes da 1ª e 2ª derivada, e o algoritmo de extremos absolutos em intervalos fechados.
Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math II/III japonês · Equiv. Analysis/Kurvendiskussion alemã
Rigorous notation, full derivation, hypotheses
定义、定理和算法
局部极值和绝对极值
"若 f 在 c 处有局部最大值或最小值,则 c 是 f 的临界点。" — Active Calculus §3.1
第一导数测试
第二导数测试
"当第二导数测试不确定时,我们诉诸第一导数测试。" — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.5
极值的Weierstrass定理(极值定理)
[a, b] 上绝对极值的算法
局部极值出现在临界点处(其中 )。绝对极值可能是局部极值,也可能在端点 和 处。
已解答的例子
Exercise list
30 exercises · 7 with worked solution (25%)
- Ex. 61.1Application
确定 的临界点,并用第二导数测试将其分类。
- Ex. 61.2Application
分类 的临界点。
- Ex. 61.3ApplicationAnswer key
找出 在 上的绝对极值。
- Ex. 61.4ApplicationAnswer key
对 的所有临界点进行分类。
- Ex. 61.5Application
确定 在 上的绝对极值。
- Ex. 61.6ApplicationAnswer key
找出并分类 的临界点。
- Ex. 61.7Application
分析 的临界点。
- Ex. 61.8Application
对 的临界点进行分类。
- Ex. 61.9Application
找出 在 上的绝对极值。
- Ex. 61.10Application
确定 在 上的绝对极值。
- Ex. 61.11Application
确定 在 上的绝对极值。
- Ex. 61.12ApplicationAnswer key
确定 在 上的绝对极值。
- Ex. 61.13Understanding
若 且 ,则点 是:
- Ex. 61.14Understanding
关于费马定理,哪个说法是正确的?
- Ex. 61.15Understanding
若 且 ,正确的结论是:
- Ex. 61.16Application
确定 在 上的绝对极值。
- Ex. 61.17Application
确定 的局部极值。
- Ex. 61.18Application
对 的局部极值进行分类。
- Ex. 61.19ApplicationAnswer key
确定 在 上的绝对极值。
- Ex. 61.20Application
确定 的极值(高斯曲线)。
- Ex. 61.21Application
找出 在 上的绝对极值。
- Ex. 61.22Application
确定 在 上的绝对极值。
- Ex. 61.23Modeling
一家公司销售一种产品,需求为 单位,当价格为 雷亚尔时。哪个价格 最大化总收入?
- Ex. 61.24Modeling
一家工厂的成本为 (雷亚尔),收入为 ,生产 个单位。生产多少单位可最大化利润?
- Ex. 61.25Modeling
一枚模型火箭垂直发射,其高度(以米计)为 。确定达到的最大高度。
- Ex. 61.26Application
找出 在 时的局部最小值。
- Ex. 61.27Application
确定 在 上的绝对极值。
- Ex. 61.28ProofAnswer key
证明费马定理:若 在 处有局部最大值且在 处可导,则 。
- Ex. 61.29ProofAnswer key
证明 在 处有临界点,但该点不是局部极值。
- Ex. 61.30Challenge
证明 有唯一临界点,且这是函数的全局最小值。
来源
- Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-3-1-tests.html
- OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-3-maxima-and-minima
- Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com