Lição 62 — Otimização aplicada

用100米的围栏，能围成的最大矩形面积是多少？

一个矩形牧地由一条与宽平行的围栏从中间分开。围栏总长（周长 + 分隔线）是120米。最大化面积。

一个圆柱形杯子（有底但无顶）必须有500立方厘米的体积。哪些尺寸最小化所用材料？

一个方形底无顶的矩形盒必须有32立方厘米的体积。底部材料成本2元/平方厘米，侧面成本1元/平方厘米。最小化总成本。

两个正数的和是20。找两个数使其乘积最大。

找正数 $$ 使 $$ 与其倒数乘以4的和最小。

找 $$ 轴上最接近点 $$ 的点。

找直线 $$ 上最接近点 $$ 的点。

从24厘米 × 9厘米的纸板中，在四个角裁剪一个正方形并折起边缘。确定最大化无顶盒体积的裁剪。

产品的需求函数是 $$（价格元/单位，$$ 销售单位）。最大化总收入 $$。

一个企业有收入 $$ 和成本 $$。确定最大化利润的产量。

一个方形底带盖的盒必须有96立方厘米的体积。最小化总表面积。

在约束优化问题中，约束方程的正确作用是什么？

要找到 $$ 在 $$ 上的绝对最大值或最小值，必须：

确定内接于半径 $$ 的球的最大体积圆柱的尺寸。

确定抛物线 $$ 上最接近点 $$ 的点。

一个300平方米的矩形区域将被围栏。东边（长 $$）成本2元/米，其他边每米成本3元。最小化总成本。

物体从高度3米以初速度20米/秒竖直向上抛出。模型：$$。确定最大高度。

一个200立方厘米的圆柱形罐，底面和顶盖材料成本10元/平方厘米，侧面成本6元/平方厘米。确定最小化成本的尺寸。

健身房走廊是矩形，两短边为半圆（椭圆跑道）。总周长20米。确定最大化内部面积的半径 $$。

两个数的和是10。找使其平方和最小的两个数。

两个非负数的和是1。最大化第一个数的平方与第二个数的乘积。

确定内接于半径5的半圆的矩形最大面积。

确定曲线 $$ 上最接近点 $$ 的点。

一个旅游团对100人的团体收费80元/人。每增加一名乘客，所有人的票价下降0.50元。多少乘客最大化收入？

一个橙园每亩25棵树，每树产600个橙子。每增加一棵树，每树产量减少12个。每亩多少棵树最大化总产量？

一个"诺曼"窗由矩形加上半圆组成。总周长10米。确定最大化窗户面积的半圆半径。

用微积分证明：在所有和固定为 $$ 的正数对中，当两个数相等时乘积最大。（这为两项AM-GM不等式证明。）

证明：对于体积固定为 $$ 的最小表面积圆柱，满足 $$（高度等于直径）。

确定内接于椭圆 $$ 的矩形最大面积，边平行于坐标轴。