Lição 64 — Regra de L'Hôpital
Regra de L'Hôpital para indeterminações 0/0 e ∞/∞. Formas indeterminadas 0·∞, ∞−∞, 1^∞, 0^0, ∞^0 e limites notáveis como sin(x)/x e e^x/x^n.
Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis Klasse 12 alemã · Equiv. H2 Maths Singapura
Rigorous notation, full derivation, hypotheses
陈述、证明及扩展
正式陈述
"洛必达法则简化了分子分母都趋于0或∞的商的极限计算。关键是识别不定式、应用该法则，并检验所得极限确实存在。" — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.8
证明思路（0/0 的情形）
由柯西均值定理：若 ，对于 接近 ，存在 介于 和 之间，使得：
当 时，有 ，极限过程得出：（当导数之比的极限收敛时）。
对其他不定式的扩展
"请注意：洛必达法则说的是商函数的极限等于导数的商的极限，前提是原极限取得0/0或∞/∞的形式。这与商的导数法则不同。" — Active Calculus §2.8
已解决的例子
Exercise list
30 exercises · 7 with worked solution (25%)
- Ex. 64.1Application
计算 。
- Ex. 64.2Application
计算 。
- Ex. 64.3Application
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- Ex. 64.4ApplicationAnswer key
计算 。
- Ex. 64.5ApplicationAnswer key
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- Ex. 64.7Application
计算 。
- Ex. 64.8Application
计算 。
- Ex. 64.9ApplicationAnswer key
计算 。
- Ex. 64.10Application
计算 。
- Ex. 64.11Application
通过洛必达法则证明 。
- Ex. 64.12Application
计算 。
- Ex. 64.13Understanding
有人想用洛必达法则计算 。问题在哪里？
- Ex. 64.14Understanding
的不定式形式是什么？
- Ex. 64.15ApplicationAnswer key
计算 。
- Ex. 64.16Application
计算 。
- Ex. 64.17Application
计算 。
- Ex. 64.18ApplicationAnswer key
计算 。
- Ex. 64.19ApplicationAnswer key
对正整数 计算 。
- Ex. 64.20Application
计算 。
- Ex. 64.21Application
计算 。
- Ex. 64.22Application
计算 。
- Ex. 64.23Application
计算 。
- Ex. 64.24Application
计算 。
- Ex. 64.25Application
尝试通过洛必达法则计算 。发生了什么？正确答案是什么？
- Ex. 64.26Application
计算 。
- Ex. 64.27Application
计算 。
- Ex. 64.28Proof
使用柯西均值定理对0/0情形的洛必达法则证明进行概述。
- Ex. 64.29Proof
使用洛必达法则证明基本极限 。
- Ex. 64.30ChallengeAnswer key
证明对任何 ，（指数支配所有幂）。使用反复洛必达法则并论证所需应用次数。
来源
- Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-2-8-LHR.html
- OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-8-lhopitals-rule
- Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com