Lição 65 — Polinômio de Taylor

写出 $f(x) = e^x$ 到 $x^4$ 的麦克劳林多项式。

写出 $f(x) = \sin x$ 到 $x^7$ 的麦克劳林多项式。

写出 $f(x) = \cos x$ 到 $x^6$ 的麦克劳林多项式。

写出 $f(x) = \ln(1+x)$ 到 $x^4$ 的麦克劳林多项式。

$f(x) = 1/(1-x)$ 到 $x^5$ 的麦克劳林展开——只是几何级数。

$f(x) = (1+x)^{1/2}$ 到 $x^3$ 的麦克劳林展开。计算 $f'$、$f''$、$f'''$ 在 $x = 0$ 处的值。

$\arctan x$ 到 $x^5$ 的麦克劳林展开（通过对 $1/(1+x^2)$ 积分）。

$\sinh x$ 和 $\cosh x$ 到 $x^5$ 的麦克劳林展开。

$e^{-x}$ 到 $x^4$ 的麦克劳林展开（在 $e^x$ 中直接替换）。

$\tan x$ 到 $x^5$ 的麦克劳林展开，使用 $\sin/\cos$。

$\cos(2x)$ 到 $x^4$ 的麦克劳林展开，通过替换。

$e^{x^2}$ 到 $x^6$ 的麦克劳林展开。

$\cos(x^2)$ 到 $x^8$ 的麦克劳林展开。

$\ln(1 - x^2)$ 到 $x^6$ 的麦克劳林展开。

$1/(1+x^2)$ 到 $x^6$ 的麦克劳林展开（几何级数，$u = -x^2$）。

$e^x \sin x$ 到 $x^4$ 的麦克劳林展开。

$\sin x \cos x$ 到 $x^5$ 的麦克劳林展开（或使用 $\sin(2x)/2$）。

$x e^{-x}$ 到 $x^4$ 的麦克劳林展开。

$\ln x$ 在 $a = 1$ 处、4 阶的泰勒展开。

$\sqrt{x}$ 在 $a = 1$ 处、3 阶的泰勒展开。

$1/x$ 在 $a = 1$ 处、3 阶的泰勒展开。

$\cos x$ 在 $a = \pi/4$ 处、4 阶的泰勒展开。

使用泰勒计算 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$。

使用泰勒计算 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$。

计算 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1 + x^2/2}{x^4}$。

计算 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3}$。

使用麦克劳林级数估计 $\ln(1{,}1)$，误差小于 $10^{-4}$。说明需要哪个阶。

估计 $\sin(0{,}1)$，误差小于 $10^{-6}$。说明使用的阶数。

使用 $a = 0$ 处 $\sqrt{1+x}$ 的泰勒展开至 2 阶来估计 $\sqrt{1{,}1}$。

相对论能量：$E = mc^2/\sqrt{1 - v^2/c^2}$。按 $v/c$ 的幂展开，并指出 $E_0 = mc^2$ 和 $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ 项。

是什么使 $P_n$ 成为在 $a$ 处的"最佳 $n$ 次多项式逼近"？

证明：若 $f$ 是次数 $\leq n$ 的多项式，则 $P_n = f$ 精确相等（不仅仅是逼近）。

使用拉格朗日余项估计证明 $e^x$ 的收敛半径无穷大。

在金融学中，$(1 + r/n)^n \to e^r$ 当 $n \to \infty$（连续复利）。使用 $e^r$ 的泰勒展开估计年增长因子 $r = 12\%$ 并与单利比较。

通过分离 $e^z$ 级数的偶数和奇数项推导欧拉公式 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$。

证明 $f(x) = e^{-1/x^2}$（$f(0) = 0$）在 0 处的所有导数都为零——因此对所有 $n$ 有 $P_n = 0$，但 $f \neq P_n$。

证明 $e^x$ 的麦克劳林级数对所有 $x \in \mathbb{R}$ 收敛到 $e^x$（使用拉格朗日余项估计）。

通过沿参数直线约化到 1D 泰勒来证明 2 阶多变量泰勒（含黑塞矩阵）。

通过广义平均值定理证明余项的拉格朗日形式。

对级数 $1/(1+t^2) = \sum (-1)^k t^{2k}$ 积分得到 $\arctan x$ 级数。利用此推导莱布尼兹公式：$\pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + \cdots$