Lição 66 — Concavidade e pontos de inflexão

确定$f(x) = x^2$在整个$\mathbb{R}$上的凹凸性。有拐点吗？

确定$f(x) = x^3$的凹凸性和拐点。

$f(x) = x^4$的凹凸性。$x = 0$处有拐点吗？用$f''$的符号说明。

$f(x) = e^x$在整个$\mathbb{R}$上的凹凸性。有拐点吗？

$f(x) = \ln x$在$(0, \infty)$上的凹凸性。

$f(x) = \sin x$在$[0, 2\pi]$上的凹凸性。指出拐点。

$f(x) = \cos x$在$[0, 2\pi]$上的凹凸性。拐点。

$f(x) = 1/x$在$(0,\infty)$和$(-\infty,0)$上的凹凸性。

$f(x) = e^{-x^2/2}$（高斯分布）的凹凸性。指出拐点。

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$的凹凸性和拐点。

用$f''$检验法：分类$f(x) = x^3 - 12x$的极值。

$f(x) = x^4 - 4x^2$的极值用$f''$检验法。

$f(x) = x e^{-x}$的极值用$f''$。

$f(x) = x^2 \ln x$在$(0, \infty)$上的极值用$f''$。

$f(x) = \sin x + \frac{1}{2}\sin(2x)$在$[0, 2\pi]$上的极值。

证明$f(x) = x^4$在$x = 0$处有极小值尽管$f''(0) = 0$（检验不确定）。

证明$f(x) = x^5$在$x = 0$处无极值尽管$f'(0) = 0$。

对于$f(x) = x^2 + 1/x$在$x > 0$：找极小值并用$f''$说明。

$f(x) = \ln x / x$在$(0, \infty)$上的极值用$f''$。

$f(x) = x^{1/x}$在$(0, \infty)$上的极值（求导前取$\ln f$）。

成本$C(q) = q^3 - 6q^2 + 9q + 100$。找拐点并解释为边际收益的变化。

利润$\pi(q) = -q^3 + 30q^2 - 100q$。通过$\pi'$最大化并用$\pi''$确认。

Logistic曲线$P(t) = K/(1 + e^{-rt})$。证明在$P = K/2$（承载能力的一半）处有拐点。

势能$U(x) = -\cos x$（钟摆）。用$U''$找稳定和不稳定平衡。

调和弹簧：$U(x) = \frac{1}{2}kx^2$。用$U''$证明$x = 0$是稳定平衡。

Bernoulli熵$H(p) = -p\ln p - (1-p)\ln(1-p)$。证明$H'' < 0$且极大值在$p = 1/2$。

学习曲线$L(t) = 1 - e^{-kt}$。确定凹凸性。它关于学习速度说了什么？

在疫情中，新增病例的峰值出现在累计病例曲线$f(t)$的拐点。用几何和$f''$说明。

效用$U(W) = \ln W$是凹的。解释Jensen不等式如何蕴含这个投资者的风险厌恶。

为什么线性回归的损失函数有唯一的全局最小值？用凸性说明。

$x_0$是$f$拐点的正确条件是什么？

证明两个凸函数的和是凸的，用$f''$的定义。

证明$f$在$I$凸蕴含中点不等式：$f\!\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2}$。

为什么$f''(x_0) = 0$不足以保证拐点？给一个具体的反例。

证明$\ln$在$(0,\infty)$凹并用此证明AM-GM不等式：$(x+y)/2 \geq \sqrt{xy}$对$x, y > 0$。

Huber函数$L(x) = x^2/2$若$|x| \leq 1$；$|x| - 1/2$否则。凸吗？$L''$在哪不连续？

通过2阶Taylor多项式证明二阶导数检验法。

证明两点的Jensen不等式：$f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$ —— 直接从凸性定义。

证明开区间上的凸函数在内部连续。

证明$f$凸当且仅当图像始终在任何切线上方：$f(y) \geq f(x) + f'(x)(y-x)$对所有$x, y$。