Lição 68 — Cinemática: posição, velocidade e aceleração

$s(t) = 2t^2 - 6t$. Calcule $v(t)$ e $a(t)$.

$s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$. Quando $v = 0$? Em cada instante, o objeto está acelerando ou freando?

$s(t) = 100 - 5t^2$ (queda livre, $g = 10$ m/s²). Quando bate no chão? Velocidade nesse instante.

$s(t) = 5t + \frac{3}{2}t^2 + \frac{1}{2}t^3$. Velocidade e aceleração em $t = 2$.

$s(t) = e^{-t}\sin t$. Calcule $v(t)$ e $a(t)$. O que a amplitude decrescente revela?

$s(t) = 10\sin(2t)$. Identifique $A$, $\omega$ e o período $T$. Escreva $v(t)$.

$s(t) = t^4 - 4t^3 + 6t^2$. Velocidade máxima em $[0, 3]$.

$s(t) = \ln(1 + t^2)$. Calcule $v(t)$ e avalie em $t = 1$.

$s(t) = t^2 - 4t$. Distância percorrida entre $t = 0$ e $t = 4$ (atenção: $v$ muda sinal).

$s(t) = A\cos(\omega t)$. Calcule o jerk $j(t) = s'''(t)$.

$s(t) = 2t^3 - 6t + 1$. Quando a velocidade é zero? Há reversão de sentido?

$s(t) = \sin(t^2)$. Calcule $v(t)$ (regra da cadeia) e avalie em $t = \sqrt{\pi}$.

Bola lançada para cima com $v_0 = 20$ m/s a partir do solo. Altura máxima ($g = 10$ m/s²).

Carro a $v_0 = 30$ m/s freia uniformemente a $a = -5$ m/s². Distância de parada (Torricelli).

Avião parte do repouso e decola a $v_f = 80$ m/s após pista de $1000$ m. Aceleração média e tempo de corrida.

Pedra cai de $h = 80$ m. Tempo de queda e rapidez no impacto ($g = 10$ m/s²).

Carro acelera $0 \to 100$ km/h em $10{,}5$ s. Aceleração média e distância percorrida na arrancada.

Lançamento oblíquo: $v_0 = 50$ m/s a $30°$ do horizontal. Alcance horizontal ($g = 10$ m/s²).

Foguete: $a(t) = 30 - 0{,}5t$ m/s² até $t = 60$ s (motor apaga). Velocidade e posição ao desligar.

Trem freia uniformemente, percorre $200$ m em $20$ s e para. Qual era $v_0$?

Bola atirada do alto de torre de $50$ m com $v_0 = 20$ m/s para cima. Tempo até bater no chão.

Objeto de $m = 1$ kg cai com arrasto $b = 0{,}2$ kg/s. Velocidade terminal ($g = 10$ m/s²).

Massa-mola: $m = 1$ kg, $k = 100$ N/m. Frequência angular $\omega$, período $T$ e frequência $f$.

$x(t) = 0{,}1\cos(2\pi t)$. Amplitude, período, $v(t)$ e velocidade máxima.

Pêndulo de comprimento $L = 1$ m. Frequência angular $\omega = \sqrt{g/L}$ e período ($g = 10$ m/s²).

Verifique que $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ satisfaz a EDO $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$.

MHS: $E = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2$. Mostre que $E$ é constante derivando em relação ao tempo.

$x(t) = e^{-t}\cos(5t)$ (oscilador amortecido). Frequência aparente e comportamento da amplitude.

Defasagem entre $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ e $v(t)$. Confirme $90°$.

Mostre que $a(t)$ e $x(t)$ estão $180°$ defasados em MHS — i.e., $a = -\omega^2 x$.

Bola lançada para cima. No ponto mais alto, a aceleração é:

Explique por que velocidade média ($\Delta s/\Delta t$) $\neq$ média das velocidades em geral. Dê um exemplo numérico.

Explique a diferença entre velocidade (grandeza vetorial 1D com sinal) e rapidez (escalar). Por que $v < 0$ é possível?

Movimento circular: $\vec{r} = R(\cos\omega t, \sin\omega t)$. Mostre que $\vec{a} = -\omega^2\vec{r}$ e $|\vec{a}| = R\omega^2$.

Projétil lançado com $v_0$ e ângulo $\theta$. Derive a fórmula do alcance $R = v_0^2\sin(2\theta)/g$ e ângulo ótimo.

Carro: 60 km/h por 1 h, depois 120 km/h por 1 h. Velocidade média por tempo? E por distância igual percorrida?

Queda com resistência quadrática: $m\dot{v} = -mg - bv^2$. Velocidade terminal e solução analítica de $v(t)$ (via separação de variáveis).

Hélice: $\vec{r}(t) = (R\cos\omega t, R\sin\omega t, vt)$. Calcule $\vec{v}$, $|\vec{v}|$ e $\vec{a}$.

Demonstre a equação de Torricelli $v_f^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta s$ a partir das equações do MUV, eliminando o tempo $t$.

Mostre que em MHS a média temporal de energia cinética e potencial são iguais a $E/2$ cada — usando $\langle\sin^2\rangle = \langle\cos^2\rangle = 1/2$.