Lição 69 — Método de Newton-Raphson

$f(x) = x^2 - 2$, $x_0 = 1$. Aplique 3 iterações de Newton-Raphson. Compare com $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$

$f(x) = x^2 - 5$, $x_0 = 2$. Aplique 3 iterações para estimar $\sqrt{5}$.

$f(x) = x^3 - 2$, $x_0 = 1$. Aplique 3 iterações para estimar $\sqrt[3]{2}$.

$f(x) = \cos x - x$, $x_0 = 1$. Aplique 3 iterações para estimar o ponto fixo de $\cos$.

$f(x) = e^x - 2$, $x_0 = 1$. Aplique 3 iterações para estimar $\ln 2$.

$f(x) = x \ln x - 1$, $x_0 = 2$. Aproxime a raiz com 4 casas decimais.

$f(x) = \sin x$, $x_0 = 3$. Mostre numericamente que as iterações convergem para $\pi$.

$f(x) = x^3 - x - 1$, $x_0 = 1{,}5$. Aproxime a raiz real (constante plástica $\approx 1{,}3247$).

$f(x) = x^2 - x - 1$, $x_0 = 1{,}5$. Aproxime a razão áurea $\phi = (1 + \sqrt{5})/2$.

$f(x) = \tan x - x$, $x_0 = 4{,}5$. Aproxime a menor raiz positiva maior que $\pi$.

Mostre que a fórmula de Heron $x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2$ para calcular $\sqrt{a}$ é exatamente Newton-Raphson aplicado a $f(x) = x^2 - a$.

Generalize: qual é a iteração de Newton para calcular $\sqrt[n]{a}$? Aplique para $n = 3$, $a = 8$, $x_0 = 2$ (2 passos).

Mostre que $x_{n+1} = x_n(2 - ax_n)$ calcula $1/a$ via Newton sem nenhuma operação de divisão. Aplique para $a = 7$, $x_0 = 0{,}1$ (3 passos).

Minimize $g(x) = x^4 - 4x + 1$ aplicando Newton-Raphson em $g'(x) = 0$, com $x_0 = 1{,}5$.

Fluxos de caixa: $-1000$, $300$, $400$, $500$ (anos 0, 1, 2, 3). A TIR $r$ é raiz de $f(r) = -1000 + 300/(1+r) + 400/(1+r)^2 + 500/(1+r)^3 = 0$. Use Newton com $r_0 = 0{,}15$.

Em Black-Scholes, dado preço de mercado $V_{\text{mkt}}$ de uma opção, explique como usar Newton-Raphson para encontrar a volatilidade implícita $\sigma$. Qual é o papel do vega na iteração?

Na equação de van der Waals $(P + a/V^2)(V - b) = RT$, dado $P$, $T$ (e constantes do gás), use Newton para encontrar o volume molar $V$. Esboce a iteração.

Equação de Kepler: $E - e \sin E = M$. Para $e = 0{,}3$ (excentricidade) e $M = 1$ rad (anomalia média), use Newton com $E_0 = 1$ para achar a anomalia excêntrica $E$ (4 iterações).

Qual comportamento Newton-Raphson pode exibir quando o chute inicial $x_0$ está longe da raiz?

Qual é o critério de parada mais robusto para Newton-Raphson?

Mostre que Newton-Raphson com $f(x) = x^3 - 2x + 2$ e $x_0 = 0$ cicla indefinidamente entre $0$ e $1$.

$f(x) = x^2$ (raiz dupla em $x = 0$), $x_0 = 1$. Mostre que Newton-Raphson converge apenas linearmente, com razão $1/2$.

$f(x) = x^{1/3}$ tem raiz em $x = 0$ mas $f'(0)$ não existe. O que acontece com Newton-Raphson? Calcule 4 iterações partindo de $x_0 = 1$.

Aplique o método da secante ($x_0 = 1$, $x_1 = 2$) a $f(x) = x^2 - 2$ por 4 iterações. Compare com Newton (exercício 69.1).

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ tem 3 raízes reais. Aplique Newton com $x_0 = 2$, depois com $x_0 = -2$, depois com $x_0 = 0{,}5$. Qual raiz cada chute encontra?

Newton modificado para raiz dupla: $x_{n+1} = x_n - 2f(x_n)/f'(x_n)$. Aplique a $f(x) = (x-1)^2$, partindo de $x_0 = 3$. Compare com a iteração padrão.

Newton pra otimização: mostre que aplicar Newton a $g'(x) = 0$ para minimizar $g$ é equivalente ao Newton padrão com $f = g'$. Aplique para minimizar $g(x) = e^x - 3x$ com $x_0 = 0$.

Para $f(z) = z^3 - 1$ no plano complexo, descreva qualitativamente as 3 bacias de Newton. Na reta real, qual raiz $x_0 = 2$ e $x_0 = -0{,}5$ atingem?

Demonstre a convergência quadrática de Newton-Raphson via Taylor de ordem 2. Identifique a constante $C = |f''(r)|/(2|f'(r)|)$.

Demonstre: se $f$ é convexa crescente com raiz simples $r$ e $x_0 > r$ com $f(x_0) > 0$, Newton-Raphson converge para $r$.

Generalize Newton-Raphson para $\vec{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$. Escreva o sistema linear a ser resolvido a cada passo e identifique o papel da Jacobiana $J$.

Mostre que a iteração de Heron $x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2$ converge quadraticamente a $\sqrt{a}$ para qualquer $x_0 > 0$.