Lição 70 — Consolidação Trim 7: máximos, L'Hôpital, Taylor, Newton

Encontre os pontos críticos, extremos locais e ponto de inflexão de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$.

Maximize $f(x) = xe^{-x}$ em $[0, +\infty)$. Qual é o máximo absoluto?

Esboce $f(x) = (x^2 - 4)/x$. Identifique assíntotas, monotonia e concavidade.

Encontre o mínimo absoluto de $f(x) = x + 4/x$ em $(0, +\infty)$.

Uma lata cilíndrica de $V = 1000\ \text{cm}^3$ deve ser construída com material mínimo. Determine o raio e a altura ótimos.

De um papelão $20 \times 30\ \text{cm}$, cortam-se quadrados $x \times x$ nos cantos e dobram-se as abas. Qual $x$ maximiza o volume da caixa?

Encontre o ponto da parábola $y = x^2$ mais próximo do ponto $(3, 0)$.

Uma cerca de $200\ \text{m}$ delimita um retângulo encostado num muro (o muro forma um lado). Maximize a área.

Determine as inflexões e a concavidade de $f(x) = e^{-x^2}$.

Faça o esboço completo de $f(x) = \ln(1 + x^2)$: domínio, simetria, extremos, inflexões, comportamento assintótico.

L'Hôpital aplica-se diretamente a $\lim_{x \to 0} \sin x / x$ (forma $0/0$). Qual alternativa descreve um caso em que a regra não se aplica diretamente?

Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$.

Calcule $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2}{e^x}$.

Calcule $\lim_{x \to 0^+} x^{\sin x}$ (forma indeterminada $0^0$).

Escreva o polinômio de Maclaurin de $\sin x$ de ordem 5 ($P_5$).

Use expansão de Taylor para calcular $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$.

Aproxime $\sqrt{1{,}1}$ usando a série de Maclaurin de $(1+x)^{1/2}$ até ordem 3.

Aproxime $e^{-0{,}1}$ com o polinômio de Maclaurin de $e^x$ de ordem 3. Calcule o erro.

Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^3}$ usando Taylor.

Escreva a série de Maclaurin de $\ln(1+x)$ até o termo em $x^5$.

Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - \cos x - x}{x^2}$ via Taylor.

Qual é o intervalo de convergência da série de Maclaurin de $\ln(1 + x)$?

Escreva $P_6(x)$ de Maclaurin para $\cos x$.

Calcule $\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^x$ (forma $1^\infty$).

Custo $C(q) = q^2/4 + 5q + 100$ (reais), preço $p = 50$ reais/unidade. Encontre quantidade $q^*$ e lucro máximo $\pi^*$.

Monopolista tem demanda $q = 100 - 2p$ e custo $C(q) = 10q$. Encontre $q^*$, $p^*$ e lucro máximo.

Uma bola é lançada verticalmente com velocidade inicial $v_0 = 20\ \text{m/s}$ ($g = 10\ \text{m/s}^2$). Calcule a altura máxima e o tempo de voo.

$s(t) = t^3 - 9t^2 + 24t$. Quando $v(t) = 0$? Calcule a distância total percorrida em $0 \leq t \leq 5$.

Sistema massa-mola: $m = 0{,}5\ \text{kg}$, $k = 50\ \text{N/m}$, amplitude $A = 0{,}1\ \text{m}$. Calcule o período e a velocidade máxima.

Use Newton-Raphson em $f(x) = x^2 - 7$ com $x_0 = 3$ para calcular $\sqrt{7}$ com 5 casas decimais.

Use Newton-Raphson em $f(x) = x^3 - 2$ com $x_0 = 1$ para aproximar $\sqrt[3]{2}$. Faça 3 iterações.

Aplique Newton-Raphson em $f(x) = e^x - 3x$ para encontrar ambas as raízes reais. Use $x_0 = 0$ para uma e $x_0 = 1{,}5$ para a outra.

Equação de Kepler: $E - 0{,}3\sin E = 1$. Use Newton-Raphson com $E_0 = 1$ e faça 4 iterações.

Mostre que uma função $C^2$ estritamente convexa ($f'' > 0$) em $\mathbb{R}$ tem no máximo um ponto de mínimo.

Use a série de Maclaurin de $\sin x$ para demonstrar que $\sin x < x$ para todo $x > 0$.

Esboce $f(x) = x^x$ em $(0, +\infty)$. Encontre o mínimo e analise o comportamento nos extremos do domínio.

Newton-Raphson aplicado a $f(x) = \arctan x$ com $x_0 = 2$ diverge. Explique geometricamente por quê e mostre numericamente.

Demonstre via Taylor: se $f'(a) = 0$ e $f^{(k)}(a)$ é o primeiro derivada não-nula em $a$, então $a$ é extremo se $k$ é par, e ponto de sela/inflexão se $k$ é ímpar.

Mostre, via Taylor de ordem 1, que $\lim_{x\to a} f(x)/g(x) = f'(a)/g'(a)$ quando $f(a) = g(a) = 0$ e $g'(a) \neq 0$.

Derive formalmente a condição $MR = MC$ para lucro máximo. Explique por que monopolista produz menos que empresa competitiva.