Lição 73 — Quartis, percentis e boxplot

数据：1, 3, 5, 7, 9。计算中位数、$Q_1$ 和 $Q_3$。

数据：2, 4, 6, 8, 10, 12。计算五数总结。

成绩：4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10。计算 $Q_1$、$Q_2$、$Q_3$。

计算数据的 $IQR$：12, 14, 18, 22, 25, 28, 32。

年龄：18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 30, 35, 60。应用 1.5 IQR 准则。有离群值吗？

工资（以千元计）：2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 50。计算中位数和 $IQR$。

对于 $n = 100$ 个已排序的数据，通过线性插值法，$Q_3$ 的位置是什么？

时间（秒）：10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 100。计算 Tukey 限制并识别离群值。

体重（公斤）：60, 62, 64, 65, 65, 67, 70, 72, 75, 80。描述箱线图的所有元素。

对于 $Z \sim \mathcal N(0,1)$，$Q_3 - Q_1 = ?$

数据有 $IQR = 6{,}7$。使用稳健估计量 $\hat\sigma = IQR/1{,}349$，计算 $\hat\sigma$。

在 1000 次正态观测样本中，我们预期有多少个点在 $Q_3 + 3 \cdot IQR$ 之上？

箱线图 A：狭窄的盒子，中位数居中。箱线图 B：宽盒子，中位数接近 $Q_1$。比较两个数据集的分散和对称性。

右尾长的分布。均值相对于中位数在什么位置？

集合 A 有 $IQR = 5$，集合 B 有 $IQR = 20$。哪个集合的中间数据分散更多？

$A = B$ 的中位数 = 50。A 的 $Q_3 = 55$，B 的 $Q_3 = 80$。两者中哪个分布向右最不对称？

公司工资的 $P_{90}$ = 千元 30。解释这一信息。

一个学生在 ENEM 处于 $P_{85}$。这意味着什么？

如果 $Q_1 = Q_2 = Q_3$，可以得出关于数据什么结论？

陈述"1.5 IQR 准则为正态数据标记 5% 的数据为离群值"对吗？

年龄（岁）：40, 52, 55, 58, 62, 66, 72。计算五数总结并检查是否有离群值。

10 个学生的成绩：3, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10。完整箱线图（含离群值检查）。

100 名学生的班级：$Q_1 = 5$，$Q_3 = 8$。一个学生得了 9.5 — 他在前 25% 吗？

为什么 IBGE 在关于巴西不平等的报告中公布收入中位数，而不仅仅是平均值？

生产的零件直径：$Q_1 = 9{,}98$ 毫米，$Q_3 = 10{,}02$ 毫米。规格：$10{,}00 \pm 0{,}05$ 毫米。过程居中吗？有显著拒收的风险吗？

网站 A/B 测试：变体 A 的中位数 1.2 秒，$IQR = 0{,}3$；变体 B 的中位数 1.1 秒，$IQR = 1{,}5$。您选择哪个在生产中发布？用分散统计论证。

您在似乎是欺诈的金融交易中检测到离群值。在分析前应删除它吗？用统计论证论证。

响应时间（毫秒）：120, 130, 135, 140, 142, 145, 148, 150, 155, 380。计算五数总结并根据四分位数评估系统是否遵守 200 毫秒 SLA。

具有 4 个病房的医院。住院时间（天）：病房 A：5, 8, 9, 10, 12；病房 B：3, 4, 4, 5, 20；病房 C：7, 8, 8, 9, 10；病房 D：2, 3, 15, 18, 25。构造五数总结并识别哪个病房在床位管理中最可预测。

按学校分类的 ENEM 成绩。学校 A：中位数 650，$IQR = 80$。学校 B：中位数 620，$IQR = 200$。哪个学校的表现更均匀？每种模式对教学政策意味着什么？

圣保罗的月平均降水量（毫米）：234, 181, 130, 83, 68, 52, 44, 47, 82, 122, 145, 201。计算五数总结并解释季节性。

社区中的房产价格（千元）：250, 280, 310, 320, 340, 350, 380, 390, 420, 1800。计算中位数和平均值。购买者为什么应该使用中位数作为典型价格参考？

用你自己的话解释，为什么中位数和 IQR 是"稳健的"而均值和标准差不是。使用具体例子。

箱线图可以隐藏双峰分布吗？构造具有与单峰分布相同箱线图的双峰分布的具体例子。

对于 $X \sim \text{Uniforme}(0, 1)$，$IQR$ 是：

解析计算 $X \sim \text{Exponencial}(\lambda)$ 的 $IQR$。用 $\lambda$ 的函数表达。

论证为什么 $IQR$ 的崩溃点是 25%，中位数的是 50%，均值的是 0%。

证明：如果 $X$ 是围绕 $\mu$ 对称的连续随机变量，那么 $\mu$ 是 $X$ 的中位数。

证明对于 $n \to \infty$ 和来自 Uniforme(0,1) 的 iid 样本，$Q_1$ 的样本估计量收敛到 0.25。使用顺序统计的性质。

证明中位数在所有 $c \in \mathbb{R}$ 上最小化 $E[|X - c|]$。