Lição 75 — Distribuição binomial

$X \sim \text{Bin}(5, 0{,}5)$. Calcule $P(X = 3)$.

$X \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$. Calcule $P(X = 0)$.

$X \sim \text{Bin}(8, 0{,}25)$. Calcule $P(X = 2)$.

$X \sim \text{Bin}(6, 1/6)$. Calcule $P(X \geq 1)$ pelo complemento.

$X \sim \text{Bin}(4, 0{,}5)$. Monte a tabela completa de PMF para $k = 0, 1, 2, 3, 4$.

$X \sim \text{Bin}(20, 0{,}1)$. Calcule $E[X]$ e $\text{Var}(X)$.

$X \sim \text{Bin}(100, 0{,}5)$. Calcule $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$.

Lance 10 moedas. Calcule $P(\text{exatamente 5 caras})$.

Lance 10 moedas. Calcule $P(\text{pelo menos 8 caras})$.

Lance um dado 6 vezes. Calcule $P(\text{exatamente 2 seis})$.

Lance um dado 6 vezes. Calcule $P(\text{nenhum seis})$.

Para $X \sim \text{Bin}(n, p)$, calcule $P(X = 0) + P(X = n)$ em função de $n$ e $p$.

Para $X \sim \text{Bin}(n, p)$, derive a razão $P(X = k)/P(X = k-1)$ em função de $n$, $p$ e $k$.

Mostre que o modo de $\text{Bin}(n, p)$ é $\lfloor (n+1)p \rfloor$. Calcule o modo de $\text{Bin}(10, 0{,}3)$.

$X \sim \text{Bin}(100, 0{,}3)$. Aproxime $P(X \leq 25)$ pela normal (use correção de continuidade).

$X \sim \text{Bin}(1000, 0{,}001)$. Use a aproximação Poisson para $P(X = 0)$.

$X \sim \text{Bin}(50, 0{,}5)$. Aproxime $P(X \geq 30)$ pela normal com correção de continuidade.

$X_1 \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$ e $X_2 \sim \text{Bin}(20, 0{,}3)$ independentes. Qual a distribuição de $X_1 + X_2$?

$X \sim \text{Bin}(50, 0{,}02)$. Use aproximação Poisson para $P(X = 0)$, $P(X = 1)$ e $P(X = 2)$.

Eleição: $p = 0{,}52$, $n = 1000$. Aproxime $P(\hat p < 0{,}50)$, a chance de a pesquisa errar o líder.

Para $X \sim \text{Bin}(n, 0{,}5)$, a partir de qual $n$ a aproximação normal é considerada boa? Justifique.

Mostre que a variância de $\text{Bin}(n, p)$ é maximizada em $p = 0{,}5$ para $n$ fixo.

Spam filter com 90% de recall. Em 500 emails reais de spam, $P(\text{marcar} \geq 470)$.

Por que a fórmula $\text{Var}(X) = np(1-p)$ pode ser deduzida pela decomposição em variáveis de Bernoulli?

Linha de produção: 3% de defeituosas. Lote de 50 peças. Calcule $P(\text{pelo menos 3 defeituosas})$.

Vacina: eficácia 85%. Em 100 vacinados, $P(\geq 90 \text{ protegidos})$. Use aproximação normal.

A/B test: variante A, 100 visitantes, 14 compraram. Variante B, 100 visitantes, 22 compraram. Calcule o p-valor do z-test para diferença de proporções.

Pesquisa eleitoral: $n = 1500$, margem de erro desejada $\pm 2{,}5\%$ a 95%. O tamanho é suficiente?

Genética: cruzamento $Aa \times Aa$, cada descendente tem prob. $1/4$ de ser $AA$. Em 8 filhos, $P(\text{exatamente 2 são } AA)$.

Call center: 5% das chamadas falham. Em 200 chamadas, calcule esperança e $\sigma$ de falhas.

Six Sigma (com ajuste 1,5σ): taxa de 3,4 ppm. Em 1 milhão de peças, use aproximação Poisson para $P(0 \text{ defeitos})$ e $E[\text{defeitos}]$.

Aposta: 30% de chance de ganhar R$100. Cada jogada custa R$ 25. Em 20 jogadas, qual o lucro esperado total?

Taxa de conversão de leads: 1%. Para fechar em média 5 negócios por mês, quantos leads precisa gerar?

ENEM: 60% dos candidatos atingem nota mínima na redação. Em turma de 20 alunos, calcule $E[X]$, $\sigma$ e $P(X \geq 15)$.

Urna com 30% de bolas vermelhas. 50 sorteios com reposição. Por que a binomial se aplica? Calcule $E[X]$ e $P(X = 15)$.

Concurso público: 8% de taxa de aprovação. Turma de 30 alunos. $E[\text{aprovados}]$ e $P(\text{pelo menos 1 aprovado})$.

Por que a binomial não se aplica ao sorteio sem reposição? Dê um contraexemplo numérico onde usar binomial daria resposta errada.

Qual é a diferença fundamental entre distribuição binomial e hipergeométrica?

Demonstre $E[X] = np$ e $\text{Var}(X) = np(1-p)$ via decomposição $X = Y_1 + \cdots + Y_n$ em variáveis de Bernoulli.

Demonstre o limite Poisson: $\text{Bin}(n, \lambda/n) \to \text{Poisson}(\lambda)$ quando $n \to \infty$ com $\lambda$ fixo.

Demonstre que $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = 1$ usando o Teorema Binomial.

Demonstre a aditividade: se $X \sim \text{Bin}(n_1, p)$ e $Y \sim \text{Bin}(n_2, p)$ independentes (mesmo $p$), então $X + Y \sim \text{Bin}(n_1 + n_2, p)$.