Lição 77 — Teorema Central do Limite

$X$ exponencial com $\mu = 1$ e $\sigma = 1$. Escreva a distribuição aproximada de $\bar X_{100}$ e calcule $\sigma_{\bar X}$.

$X$ uniforme em $[0, 1]$. Determine $\mu$ e $\sigma^2$, e escreva a distribuição aproximada de $\bar X_{50}$ pelo TCL.

Lance 100 dados não viesados. Determine a distribuição aproximada da soma $S_{100}$, informando $E[S]$ e $\text{Var}(S)$.

$X \sim \text{Bernoulli}(0{,}3)$. Escreva a distribuição aproximada de $\bar X_{200}$ pelo TCL e calcule o desvio padrão da proporção amostral.

Uma população tem $\mu = 50$ e $\sigma = 10$. Para $n = 25$, calcule o desvio padrão de $\bar X$ (em números inteiros).

Usando os dados de 77.5 ($\mu = 50$, $\sigma = 10$, $n = 25$), calcule $P(\bar X > 53)$.

Com os mesmos parâmetros ($\mu = 50$, $\sigma = 10$, $n = 25$), calcule $P(\bar X < 47)$.

$X$ com $\mu = 100$, $\sigma = 20$, $n = 100$. Calcule $P(98 < \bar X < 102)$.

Soma de 50 v.a. iid com $\mu = 5$, $\sigma = 2$. Calcule $P(S_{50} > 270)$.

$X$ com $\mu = 10$, $\sigma = 3$. Quantas observações $n$ para um IC de 95% com margem de erro $\pm 0{,}5$?

Quando o tamanho de amostra $n$ é multiplicado por 4, o desvio padrão de $\bar X$ ($= \sigma/\sqrt{n}$):

$X$ tem distribuição muito assimétrica (skewness = 3). Para que tamanho de $n$ o TCL é razoável?

Notas com $\mu = 70$, $\sigma = 15$. Amostra $n = 36$. Calcule $P(\bar X > 75)$.

Com os mesmos parâmetros de 77.13 ($\mu = 70$, $\sigma = 15$, $n = 36$), calcule $P(\bar X < 65)$.

Com $\mu = 70$, $\sigma = 15$, $n = 36$ e $\bar X = 72$, construa um IC de 95% para $\mu$.

Peso de pacotes: $\mu = 500$ g, $\sigma = 50$ g. Amostra $n = 25$. Calcule $P(\bar X > 520)$.

Com os parâmetros de 77.16 ($\mu = 500$ g, $\sigma = 50$ g, $n = 25$), calcule $P(485 < \bar X < 515)$.

Tempo de resposta: $\mu = 50$ ms, $\sigma = 10$ ms. Média de 100 medições. Qual o limite de SLA de 95%?

Lance um dado 1.000 vezes. Calcule $P(\bar X > 3{,}6)$.

Usando a distribuição da soma $S_{1000}$ de 1.000 lançamentos de dado, calcule $P(S_{1000} > 3600)$.

$X \sim \text{Exp}(1)$ ($\mu = 1$, $\sigma = 1$). Calcule $P(\bar X_{100} > 1{,}1)$.

Pesquisa eleitoral: $p = 0{,}40$, $n = 1000$. Calcule $P(\hat p > 0{,}43)$.

Você detém 50 ações independentes; retorno diário de cada uma: $\mu = 0{,}1\%$, $\sigma = 2\%$. Qual a distribuição do retorno médio diário da carteira?

Modelo de ML: erro individual $\sigma = 0{,}5$. Calcule o desvio padrão do erro médio sobre 1.000 predições.

Determine o tamanho de amostra para detectar diferença de proporções de 5% com $\alpha = 0{,}05$ e poder de 80%.

Estimativa de $\pi$ por Monte Carlo: $n$ pontos aleatórios no quadrado $[0,1]^2$, conta-se os que caem no quarto de disco. Qual o desvio padrão da estimativa de $\pi$ como função de $n$?

Lote de 500 peças: $\mu = 100$ g, $\sigma = 5$ g. Determine a distribuição da massa total $S_{500}$.

Tempo de espera de ônibus: $\mathcal{U}[0, 30]$ min. Calcule $P(\bar T_{50} > 16)$ para a espera média de 50 passageiros.

Gráfico de controle X-bar com $n = 5$. Os limites de controle são $\bar X \pm 3\sigma_{\bar X}$. Calcule a largura do intervalo em termos de $\sigma$ do processo.

Pesquisa de satisfação: margem de erro $\pm 3\%$ a 95% de confiança, $p$ desconhecido. Qual o $n$ mínimo?

Tempo de chamada: $\mu = 3$ min, $\sigma = 1{,}5$ min. 100 chamadas por hora. Determine a distribuição do tempo total e calcule $P(\text{total} > 330\text{ min})$.

A/B test: 10.000 visitantes por variante; taxa de conversão A = 5%, B = 6%. O lift de 1 ponto percentual é estatisticamente significativo? Calcule o valor $z$ e o $p$-valor.

Qual das seguintes opções descreve corretamente o Teorema Central do Limite?

Por que o TCL clássico de Lindeberg-Lévy não se aplica à distribuição de Cauchy?

Simule o TCL em Python para distribuição exponencial com $\lambda = 1$. Gere histogramas de 10.000 médias amostrais para $n \in \lbrace 1, 5, 30 \rbrace$ e compare visualmente com a curva normal teórica.

Esboce a demonstração do TCL via função característica, indicando onde cada hipótese (variância finita, iid) é usada.

Mostre que o TCL implica a Lei Fraca dos Grandes Números: se $Z_n \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)$, então $\bar X_n \xrightarrow{P} \mu$.