Lição 80 — Consolidação Trim 8 — Estatística e probabilidade aplicada

Amostra: 4, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 22. Calcule mediana, $Q_1$, $Q_3$, IQR e identifique outliers pela cerca de Tukey.

Mesma amostra do exercício 80.1. Calcule a média e o desvio padrão amostral. Compare com a mediana: qual é mais representativa da posição central? Por quê?

$X \sim \text{Bin}(20,\, 0{,}3)$. Calcule $E[X]$, $\text{Var}(X)$ e $\sigma$.

Para $X \sim \text{Bin}(20,\, 0{,}3)$: verifique o critério de aproximação normal e, mesmo que limítrofe, use a aproximação com correção de continuidade para estimar $P(X \geq 10)$.

$X \sim \mathcal{N}(50,\, 100)$. Calcule $P(X > 65)$.

Amostra $n = 100$ de população com $\mu = 10$, $\sigma = 3$. Calcule $P(\bar X > 10{,}3)$.

Pares $(x, y)$: (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4), (5, 7). Calcule o coeficiente de correlação de Pearson $r$ e a reta de regressão $\hat y = b_0 + b_1 x$.

Doença com prevalência 2%, teste com sensibilidade 90% e especificidade 95%. Calcule o Valor Preditivo Positivo (VPP).

$Y = 2X + 5$ onde $X \sim \mathcal{N}(10,\, 4)$. Determine a distribuição de $Y$.

Lança-se um dado honesto 50 vezes. Calcule a esperança e o desvio padrão da soma $S = X_1 + \cdots + X_{50}$.

Qual das afirmações sobre medidas de dispersão é correta?

Qual das relações é verdadeira para as probabilidades pontuais das binomiais na moda?

Explique em suas palavras: o TCL afirma que, para $n$ grande, os dados individuais seguem distribuição normal? Se não, o que exatamente converge para normal?

Qual afirmação sobre correlação de Pearson é correta?

Tempo de entrega de uma pizzaria: $T \sim \mathcal{N}(32,\, 5^2)$ min. Qual o prazo máximo que cobre 95% das entregas?

Com o modelo do exercício 80.15 (SLA de 40,2 min, taxa de violação 5%), calcule a esperança do número de violações em 100 entregas.

Mercado imobiliário: correlação entre área e preço é $r = 0{,}8$. Médias $\bar x = 80\,\text{m}^2$, $\bar y = 450.000$ (R$); desvios$s_x = 20$,$s_y = 80.000$. Encontre a reta de regressão e preveja o preço para um imóvel de área média.

Carteira financeira: 100 ações independentes, cada uma com retorno diário $\sim \mathcal{N}(0{,}001,\; 0{,}02^2)$. Determine a distribuição do retorno diário da carteira equal-weighted.

Six Sigma: peças com dimensão $X \sim \mathcal{N}(10,\; 0{,}02^2)$ mm. Tolerância $10 \pm 0{,}1$ mm. Calcule a proporção de defeitos e estime defeitos por milhão.

Pesquisa eleitoral: $n = 2500$, $\hat p = 0{,}48$. Construa um intervalo de confiança de 95% para a proporção verdadeira $p$.

Filtro de spam: 80% dos spams contêm "GRÁTIS", 5% dos hams contêm. $P(\text{spam}) = 0{,}3$. Um email contém "GRÁTIS" — aplique Bayes e classifique.

Linha de produção: taxa de defeito 2%, lote de 200 peças. Estime $P(X \geq 5\text{ defeitos})$ via aproximação Poisson e via aproximação normal. Compare os resultados.

Carteira financeira: ativos A ($\sigma_A = 1\%$) e B ($\sigma_B = 2\%$) com correlação $\rho_{AB} = 0{,}3$. Calcule o desvio padrão da carteira 50%/50%.

Dois testes diagnósticos independentes, ambos positivos: teste 1 (sens 90%, espec 95%), teste 2 (sens 85%, espec 90%). Prevalência 1%. Aplique Bayes sequencialmente e calcule o VPP final.

Ensaio clínico de vacina: 100 vacinados, 5 doentes; 100 placebos, 25 doentes. Calcule a eficácia vacinal e avalie (informalmente) se a diferença é estatisticamente significativa.

Central de atendimento: em cada minuto, cada um dos 120 atendentes recebe uma ligação com probabilidade 2%. Modele o número de ligações simultâneas em 1 minuto e calcule $P(\text{pelo menos 1 ligação})$.

Alturas de homens adultos no Brasil: $\mu = 173$ cm, $\sigma = 7$ cm. Que porcentagem não passa por uma porta de 180 cm? Qual altura de porta cobre 99% da população masculina?

Explique, com exemplo numérico, por que em distribuições muito assimétricas à direita a mediana é mais informativa que a média, e o IQR mais informativo que o desvio padrão.

Descreva intuitiva e matematicamente como a inferência bayesiana converge para a inferência frequentista (MLE) quando $n \to \infty$. Qual teorema formaliza essa convergência?

Construa um exemplo de dados onde $r > 0{,}8$ mas a relação entre $X$ e $Y$ é inteiramente explicada por um confundidor $C$. Explicite o mecanismo matemático.

Gere (teoricamente) 100 variáveis aleatórias $X_i \sim \text{Uniforme}[0,1]$ independentes. Use o TCL para aproximar $P(X_1 + \cdots + X_{100} > 55)$.

ENEM: escola pública tem $\mu_1 = 520$, $\sigma_1 = 90$ (Mat.); escola privada tem $\mu_2 = 610$, $\sigma_2 = 80$. Amostras de $n=100$ de cada. Qual a probabilidade de que a média amostral privada supere a pública em mais de 80 pontos?

Demonstre que $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ a partir da definição $\text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]$.

Mostre que se $X_i \sim \text{Bernoulli}(p)$ são iid, então $S = \sum_{i=1}^n X_i \sim \text{Bin}(n,p)$. Conclua que $\bar X = S/n \xrightarrow{P} p$ pela Lei dos Grandes Números.

Prove que $E[aX + b] = aE[X] + b$ e $\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$ para quaisquer $a, b \in \mathbb{R}$.

Derive a regra de Bayes $P(H \mid E) = P(E \mid H)\,P(H)/P(E)$ a partir da definição de probabilidade condicional e da lei da probabilidade total.

Enuncie o TCL formalmente. Esboce a prova via função característica (basta indicar os passos, não é necessário justificar o teorema de continuidade de Lévy).