Lição 91 — Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias

Classifique $y''' + y'' - y = 0$: determine a ordem, se é linear e se é homogênea.

Classifique $y' + xy = 0$: ordem, linear/não-linear, homogênea.

Classifique $y' + y^2 = x$: ordem e linear/não-linear.

Classifique $y'' + y = \sin x$: ordem, linear/não-linear, homogênea.

Verifique que $y = e^{2x}$ é solução de $y' = 2y$.

Verifique que $y = \sin x$ é solução de $y'' + y = 0$.

Verifique que $y = x^2 + 3$ é solução do PVI $y' = 2x$, $y(0) = 3$.

Verifique que $y = e^{-t}\cos t$ é solução de $y'' + 2y' + 2y = 0$.

Mostre que $y(t) = Ce^{-kt}$ é a solução geral de $y' = -ky$.

A queda livre é modelada por $y'' = -g$ (aceleração gravitacional constante). Encontre a solução geral por dupla integração.

Qual é a solução geral de $y'' - y = 0$?

O que uma condição inicial determina na solução de uma EDO?

Resolva $y' = 3x^2$, $y(0) = 5$.

Resolva $y' = \sin x$, $y(0) = 1$.

Resolva $y'' = 6x$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 2$.

Resolva $y' = ky$, $y(0) = y_0$. Expresse em termos de $k$ e $y_0$.

Resolva $y' = 2y$, $y(0) = 5$. Calcule $y(3)$.

Resolva $y' = -0{,}1\,y$, $y(0) = 100$. Calcule $y(20)$.

Resolva $y' = e^x$, $y(0) = 0$.

Resolva $y'' = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = -3$.

Resolva $y' = 1/x$, $y(1) = 0$ (domínio $x > 0$).

Resolva $y'' = -y$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$.

Resolva $y'' + 2y' + 2y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$.

Capacitor descarrega: $V' = -V/(RC)$. Para $V_0 = 12$ V e $RC = 1$ s, calcule $V(2)$.

Colônia de bactérias dobra a cada hora. População inicial: 100. Escreva a EDO e calcule $N(5)$.

Investimento de R$ 1.000 a 5% a.a. com juros contínuos. Escreva a EDO e calcule o montante em 10 anos.

Café a 90 °C, sala 25 °C, $k = 0{,}04$ min$^{-1}$. Escreva a EDO, resolva, e determine em quanto tempo a temperatura chega a 50 °C.

Carbono-14 ($\tau_{1/2} = 5730$ anos). Um fóssil tem 25% do C-14 inicial. Calcule sua idade.

Medicamento: meia-vida de 6 h, dose 200 mg. Escreva a EDO e calcule o quanto resta após 18 h.

Aplicação financeira rende Selic de 14,75% a.a. com capitalização contínua. Em quantos anos o capital dobra?

Epidemia simplificada: $I' = rI(1 - I/N)$ (equação logística). Identifique os equilíbrios e descreva o comportamento da solução.

Queda com resistência do ar: $m\dot{v} = mg - kv$ ($k > 0$). Calcule a velocidade terminal $v_\infty$ (quando a aceleração cessa).

Iodo-131 ($\tau_{1/2} = 8$ dias). Escreva a EDO e calcule quanto resta de 100 g após 24 dias.

Um ativo desvaloriza 3% ao ano de forma contínua. Escreva a EDO e expresse o valor após 5 anos em termos do valor inicial $P_0$.

(Forense) Corpo encontrado às 22 h com temperatura 32 °C. Sala a 21 °C, $k = 0{,}374$ h$^{-1}$. Temperatura normal do corpo: 37 °C. Escreva a EDO e encontre $k$ usando as condições dadas.

O que o Teorema de Picard-Lindelöf garante sobre a EDO $y' = f(x, y)$, $y(x_0) = y_0$?

Por que a solução geral de uma EDO de ordem $n$ tem exatamente $n$ constantes arbitrárias? Como isso se relaciona com o número de condições iniciais necessárias?

Explique por que $y' = \sqrt{\lvert y \rvert}$, $y(0) = 0$ tem infinitas soluções. Qual hipótese do Picard-Lindelöf é violada?

Demonstre que $y = Ce^{kx}$ é a única família de soluções de $y' = ky$ (a menos de escolha de $C$). Dica: considere $z(x) = y(x)\,e^{-kx}$.

Demonstre que a solução de $y' = ky$, $y(0) = y_0$ é $y(t) = y_0 e^{kt}$, usando a técnica de separação de variáveis (preview da Lição 92).