Lição 92 — EDOs separáveis

求解 $\dfrac{dy}{dx} = 5y$。

求解初值问题 $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{2}$，$y(0) = 4$。

求解 $\dfrac{dy}{dx} = xy$。

求解 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y}$，$y(0) = 2$。

求解 $\dfrac{dy}{dx} = e^{x-y}$。

求解 $\dfrac{dy}{dx} = (1 + y^2)\cos x$。

求解 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{y}$，$y(1) = 2$。

求解 $y' = y\sqrt{x}$。

求解 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos x}{y}$。

求解 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{e^{2x}}{y}$。

求解 $\dfrac{dy}{dx} = -2xy^2$。

通过部分分式求解 $\dfrac{dy}{dx} = y^2 - 1$。

求解 $y' = (1-y)/x$，$y(1) = 0$。

验证 $y = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$ 求解 $y' = y(1-y)$。

求解 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x}{1+y^2}$。

求解 $y'\sin x = y\cos x$。

求解 $\dfrac{dy}{dx} = y\tan x$，$y(0) = 1$。

求解 $y'\,e^x = y$。

求解 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x^2}$，$y(1) = e$。

求解 $y' = \sqrt{1 - y^2}$。讨论定义域和奇异解。

放射性衰变：${}^{14}$C 的半衰期为 5730 年。10000 年后剩余百分之多少？

RC 电路放电：$V(0) = 12$ V，$R = 1\,\text{k}\Omega$，$C = 100\,\mu\text{F}$。求 $V(t)$。

100 L 装满纯水的坦克，每分钟进入 5 L 浓度 10 g/L 的盐水，并排出 5 L/min。30 分钟后浓度是多少？

细菌菌落每 3 小时翻倍。增长 100 倍需要多长时间？

牛顿冷却定律：20°C 房间里的 90°C 咖啡在 5 分钟后达到 70°C。何时达到 30°C？

具有线性阻力的自由落体：$\dot v = g - kv$，$v(0) = 0$。求解并确定末端速度 $v_\infty$。

药物浓度：$\dot C = -0.1C$，$C(0) = C_0$。多久降至初始剂量的 50%？

投资以年利率 5% 的连续复利增长：$\dot S = 0.05 S$。资本翻倍需要多长时间？

证明 $y \equiv 0$ 是 $y' = y^2$ 的解。它属于一般族吗？证明。

对于 $y' = y^{2/3}$，$y(0) = 0$，证明存在无穷多个解。为什么 Picard 唯一性会失败？

为什么 $\displaystyle\int \dfrac{dy}{y} = \ln|y| + C$ 使用绝对值？

对于 $\dot y = y(1-y)$，识别平衡点并将其分类为稳定或不稳定。

下列哪种形式的 $dy/dx = F(x,y)$ 对应可分离的微分方程？

通过替换 $u = x+y$ 求解 $y' = (x+y)^2$。

证明 $\dot y = y^2$，$y(0) = y_0 > 0$ 在有限时间 $T = 1/y_0$ 爆炸。用 Osgood 准则确认。

Bernoulli 方程 $y' + P(x)y = Q(x)y^n$。证明替换 $u = y^{1-n}$ 将其转换为线性微分方程。

通过 Picard 迭代为 $y' = f(x,y)$，$y(x_0) = y_0$ 素描 Picard-Lindelöf 定理的证明，其中 $f$ 连续且在 $y$ 中 Lipschitz。

对于 $\dot y = h(y)$ 且 $h(y) > 0$ 对所有 $y \geq y_0$，证明解是全局的当且仅当 $\displaystyle\int_{y_0}^{+\infty} \dfrac{dy}{h(y)} = +\infty$（Osgood 准则）。

求解 $\dfrac{dy}{dx} = y^2 e^x$。

通过部分分式求解 $\dfrac{dy}{dx} = y^2 - 4$。识别奇异解。

求解 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{1+y^2}$。

求解 $\dfrac{dy}{dx} = e^{-y}\sin x$。

逻辑斯谛增长：$\dot P = 0{,}06\,P(1 - P/500)$，$P(0) = 50$。种群何时达到承载量的一半？

定性分析 $\dot y = y(2-y)$ 而不显式求解：识别平衡点、稳定性和不同初值条件下的解的行为。

对于 $\dot y = y^p$ 当 $y(0) = y_0 > 0$，确定 $p$ 的哪些值导致有限时间爆破。在这种情况下计算 $T$。