Lição 93 — EDOs lineares de 1ª ordem

解 $y' + y = 0$。

解 $y' + 2y = 6$，$y(0) = 1$。

解 $y' + 3y = e^{-x}$。

解 $y' - y = e^{2x}$，$y(0) = 0$。

解 $y' + 2xy = x$。

解 $y' + \frac{1}{x}\,y = 1$，$y(1) = 0$。

解 $x y' + 2y = x^3$。

解 $y' - y\sin x = \sin x$。

解 $y' + y\cot x = 2\cos x$。

解 $y' - 2xy = x$，$y(0) = 1$。

解 $y' + 4y = 8$ 并指出稳态。

解 $y' + y = \sin x$。

解 $y' - 3y = 6e^{3x}$。

解 $y' + \frac{2}{x}\,y = x^2$。

解 $y' + y\cos x = \cos x$。

解 $(1+x^2)y' + 2xy = 4x$，$y(0) = 0$。

$y = e^{-x}$ 解 $y' + y = 0$ 吗？

解 $y' = 2y + 4$。

找到 $\mu(x)$ 用于 $y' + (\sin x)y = \cos x$ 并讨论解是否有闭形式。

解 $y' + 2y = t^2$（独立变量 $t$）。

RC 电路：$R = 2\,\text{k}\Omega$，$C = 50\,\mu\text{F}$，$V_s = 12\,\text{V}$（在 $t = 0$ 阶跃），$V_C(0) = 0$。找到 $V_C(t)$ 和 $\tau$。

RL 电路：$L = 0.5\,\text{H}$，$R = 10\,\Omega$，$V = 5\,\text{V}$，$i(0) = 0$。找到 $i(t)$ 和 $\tau = L/R$。

CSTR 反应器：流量 $Q = 2\,\text{L/min}$，体积 $V = 100\,\text{L}$，进口浓度 $c_{in} = 5\,\text{g/L}$，$c(0) = 0$。找到 $c(t)$。

温度计在 $20\,\text{°C}$，浸入 $80\,\text{°C}$ 的水。时间常数 $\tau = 30\,\text{s}$。何时显示 $70\,\text{°C}$？

支票账户：初始余额为零，以 $r = 5\%$ 年利率（连续）计息，每年接收 12000 巴西雷亚尔的连续存款。计算 10 年后的余额。

加热器：$\dot T = -k(T - T_{\text{amb}}) + P/C$，其中 $k = 0.1\,\text{min}^{-1}$，$T_{\text{amb}} = 20\,\text{°C}$，$P/C = 5\,\text{°C/min}$，$T(0) = 20\,\text{°C}$。计算 $T_\infty$ 和达到 $T_\infty$ 的 90% 所需的时间。

RC 低通滤波器，输入 $u(t) = \sin(\omega t)$。对于 $\omega\tau = 0.1$、$\omega\tau = 1$ 和 $\omega\tau = 10$ 计算稳态响应的幅度。

200 L 水箱初始含 50 g 盐。盐水以 2 g/L 以 4 L/min 流入；混合物以 4 L/min 流出。1 小时后的盐量。

证明若 $p$ 和 $q$ 在 $I$ 上连续，则初值问题 $y' + p\,y = q$，$y(x_0) = y_0$ 有唯一解。

积分因子相差乘法常数而唯一 — 这影响最终解吗？

对 $\mathcal{L}y = y' + p\,y$ 陈述叠加原理。

伯努利方程：$y' + y = y^2$。做 $u = 1/y$ 来线性化并解。

通过参数变化解 $y' + y\tan x = \sec x$，并确认该结果与积分因子的结果相符。

李卡提方程：$y' = y^2 - 2xy + x^2 - 1$。验证 $y_1 = x + 1$ 是特解，并使用代换 $y = x + 1 + 1/v$ 将其约化为 $v$ 中的线性方程。

严格证明 $\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$ 将 $y' + py = q$ 变成 $(\mu y)' = \mu q$ 并推导通解公式。

证明 $y(x) = \int_{x_0}^{x} G(x,s)\,q(s)\,ds$，其中 $G(x,s) = e^{-\int_s^x p(t)\,dt}$，解 $y' + py = q$，$y(x_0) = 0$。