v1 · padrão canônico

Lição 95 — EDOs lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes

ay'' + by' + cy = 0. Equação característica e três regimes: raízes reais distintas, real dupla, complexas conjugadas.

Used in: Spécialité Maths (France, Terminale) · Math III japonês (avançado) · Leistungskurs alemão Klasse 12

ay'' + by' + cy = 0 \;\Longrightarrow\; a\lambda^2 + b\lambda + c = 0

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

特征方程 — 三种情况

一般问题

Ansatz 与特征方程

代入 $y = e^{\lambda x}$ ： $y' = \lambda e^{\lambda x}$ ， $y'' = \lambda^2 e^{\lambda x}$ 。

$a\lambda^2 e^{\lambda x} + b\lambda e^{\lambda x} + c e^{\lambda x} = 0 \;\Rightarrow\; a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$

由于 $e^{\lambda x} \neq 0$ ，一切问题归结为代数二次方程。

"If $b^2 - 4ac > 0$ , the characteristic equation has two distinct real roots $r_1, r_2$ , and the general solution of [the ODE] is $y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$ ." — Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2

二重根的情况

定性图 — 各情况的渐近行为

定性图谱：情况 1（纯指数）、情况 2（临界边界）、情况 3（振荡）。

非齐次方程

对于 $ay'' + by' + cy = q(x)$ ：通解 $y = y_h + y_p$ 。

$y_h$ ：齐次方程的解（两个自由参数）。

$y_p$ ：任意一个特解 — 通过 待定系数法 得到（当 $q$ 是多项式、指数、正弦/余弦的组合时）或通过 参数变易法（通用）。

已解决的例子

Example— 1· 情况 1 — 不同实根

问题。 解 $y'' - 5y' + 6y = 0$ ， $y(0) = 2$ ， $y'(0) = 3$ 。

策略。 $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$ ：两个不同的实数。

求解。

特征方程： $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda-2)(\lambda-3) = 0$ 。

$\lambda_1 = 2$ ， $\lambda_2 = 3$ 。通解： $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$ 。

$y(0) = C_1 + C_2 = 2$ 。

$y'(0) = 2C_1 + 3C_2 = 3$ 。

系统： $C_1 = 3$ ， $C_2 = -1$ 。

$y = 3e^{2x} - e^{3x}$

验证。 $y'' - 5y' + 6y = (12-15+6\cdot 3)e^{2x} + (-9+15-6)e^{3x} = 12e^{2x} \cdot 0 + 0 = 0$ 。 $y(0) = 3 - 1 = 2$ ， $y'(0) = 6 - 3 = 3$ 。正确。

来源。 Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2, Example 2.2.1 — CC-BY-SA。

Example— 2· 情况 2 — 二重根

问题。 解 $y'' - 4y' + 4y = 0$ ， $y(0) = 1$ ， $y'(0) = 0$ 。

策略。 $\Delta = 16 - 16 = 0$ ：二重根。

求解。

$\lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda-2)^2 = 0$ 。二重根 $\lambda = 2$ 。

$y = (C_1 + C_2 x)e^{2x}$ 。

$y(0) = C_1 = 1$ 。

$y'(x) = C_2 e^{2x} + 2(C_1 + C_2 x)e^{2x}$ 。

$y'(0) = C_2 + 2C_1 = 0 \Rightarrow C_2 = -2$ 。

$y = (1 - 2x)e^{2x}$

验证。 $y' = -2e^{2x} + 2(1-2x)e^{2x} = (2-4x-2)e^{2x} = -4xe^{2x}$ 。 $y'' = -4e^{2x} - 8xe^{2x}$ 。 $y''-4y'+4y = (-4-8x)e^{2x} - 4(-4x)e^{2x} + 4(1-2x)e^{2x} = (-4-8x+16x+4-8x)e^{2x} = 0$ 。正确。

来源。 Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2, Example 2.2.2 — CC-BY-SA。

Example— 3· 情况 3 — 共轭复根（阻尼振荡）

问题。 解 $y'' + 2y' + 5y = 0$ ， $y(0) = 1$ ， $y'(0) = 2$ 。

策略。 $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ ：复数。 $\alpha = -1$ ， $\beta = 2$ 。

求解。

$\lambda = (-2 \pm \sqrt{-16})/2 = -1 \pm 2i$ 。

$y = e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)$ 。

$y(0) = C_1 = 1$ 。

$y'(x) = -e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x) + e^{-x}(-2C_1\sin 2x + 2C_2\cos 2x)$ 。

$y'(0) = -C_1 + 2C_2 = 2 \Rightarrow 2C_2 = 3 \Rightarrow C_2 = 3/2$ 。

$y = e^{-x}\!\left(\cos 2x + \frac{3}{2}\sin 2x\right)$

验证。 特征方程的根 $-1 \pm 2i$ 都有实部 $-1 < 0$ ：解指数衰减。 $y(0) = 1$ ， $y'(0) = -1 + 3 = 2$ 。正确。

来源。 Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2, Example 2.2.3 — CC-BY-SA。

Example— 4· 非齐次方程（待定系数法）

问题。 解 $y'' - y' - 2y = e^{3x}$ 。

策略。 $y = y_h + y_p$ 。对 $q = e^{3x}$ 且 3 不是特征根：尝试 $y_p = Ae^{3x}$ 。

求解。

$\lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda-2)(\lambda+1) = 0$ 。 $y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x}$ 。

尝试： $y_p = Ae^{3x}$ 。代入：

$9Ae^{3x} - 3Ae^{3x} - 2Ae^{3x} = e^{3x} \Rightarrow 4A = 1 \Rightarrow A = 1/4$ 。

$y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} + \frac{1}{4}e^{3x}$

验证。 $y_p'' - y_p' - 2y_p = (9/4 - 3/4 - 2/4)e^{3x} = (9-3-2)/4\,e^{3x} = e^{3x}$ 。正确。

来源。 Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.3, Example 2.3.1 — CC-BY-SA。

Example— 5· 非齐次方程（共振 — 修正法则）

问题。 解 $y'' - 3y' + 2y = e^{2x}$ 。

策略。 尝试 $y_p = Ae^{2x}$ — 但 $\lambda = 2$ 是特征根！修正法则：乘以 $x$ 。

求解。

$\lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda-1)(\lambda-2) = 0$ 。 $y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$ 。

$\lambda = 2$ 是简单根：尝试 $y_p = Axe^{2x}$ 。

$y_p' = Ae^{2x} + 2Axe^{2x}$ ， $y_p'' = 4Ae^{2x} + 4Axe^{2x}$ 。

$y_p'' - 3y_p' + 2y_p = (4A + 4Ax)e^{2x} - (3A + 6Ax)e^{2x} + 2Axe^{2x} = Ae^{2x}$ 。

$A = 1$ 。故 $y_p = xe^{2x}$ 。

$y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + xe^{2x}$

验证。 $y_p = xe^{2x}$ ： $y_p'' - 3y_p' + 2y_p = (4+4x)e^{2x} - 3(1+2x)e^{2x} + 2xe^{2x} = (4+4x-3-6x+2x)e^{2x} = e^{2x}$ 。正确。

来源。 Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.3, Example 2.3.2 — CC-BY-SA。

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 3Modeling 4Challenge 3Proof 2

Ex. 95.1Application
解 $y'' - 3y' + 2y = 0$ 。
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Ex. 95.2Application
解 $y'' + 4y' + 4y = 0$ 。
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Ex. 95.3ApplicationAnswer key
解 $y'' + 9y = 0$ 。
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Ex. 95.4Application
解 $y'' + 2y' + 10y = 0$ 。
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Ex. 95.5Application
解 $y'' + 4y' + 3y = 0$ ， $y(0) = 1$ ， $y'(0) = 0$ 。
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Ex. 95.6Application
解 $y'' - 2y' + y = 0$ ， $y(0) = 2$ ， $y'(0) = -1$ 。
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Ex. 95.7Application
解 $y'' + 4y = 0$ ， $y(0) = 0$ ， $y'(0) = 1$ 。
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Ex. 95.8Application
解 $y'' - y' - 6y = 0$ 。
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Ex. 95.9Application
解 $y'' + 2y' + 5y = 0$ 。
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Ex. 95.10ApplicationAnswer key
解 $y'' + 6y' + 9y = 0$ 。
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Ex. 95.11UnderstandingAnswer key
$y'' - 2y' + 2y = 0$ 的通解的正确形式是什么？
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Ex. 95.12Understanding
$y'' + by' + cy = 0$ ， $a = 1$ 。对于什么条件 $b, c$ ，解衰减到零？
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Ex. 95.13Application
解 $y'' - y = e^{2x}$ 。
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Ex. 95.14Application
解 $y'' + 4y = 3\sin x$ 。
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Ex. 95.15ApplicationAnswer key
解 $y'' + 2y' = 4x^2$ 。
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Ex. 95.16ApplicationAnswer key
解 $y'' + 4y = \sin 2x$ （共振情况）。
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Ex. 95.17Application
计算 $y_1 = e^x$ 和 $y_2 = e^{2x}$ 的朗斯基行列式，并验证它们构成 $y'' - 3y' + 2y = 0$ 的基本解组。
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Ex. 95.18Application
LC 电路： $L\ddot q + q/C = 0$ ， $q(0) = Q_0$ ， $\dot q(0) = 0$ 。求 $q(t)$ 和 $\omega_0$ 。
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Ex. 95.19Understanding
$\{\cos 3x, \sin 3x\}$ 是 $y'' + 9y = 0$ 的基本解组吗？
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Ex. 95.20Modeling
无摩擦的弹簧-质量系统： $m = 2\,\text{kg}$ ， $k = 500\,\text{N/m}$ ， $y(0) = 0{,}1\,\text{m}$ ， $y'(0) = 0$ 。求 $\omega_0$ 、周期和位移 $y(t)$ 。
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Ex. 95.21Modeling
阻尼振荡器： $y'' + 5y' + 6y = 0$ ， $y(0) = 1$ ， $y'(0) = 0$ 。分类（欠/过/临界）并求解。
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Ex. 95.22ModelingAnswer key
临界阻尼： $2y'' + 4y' + 2y = 0$ ， $y(0) = 1$ ， $y'(0) = -1$ 。求解并分类。
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Ex. 95.23Modeling
欠阻尼系统： $y'' + 4y' + 13y = 0$ ， $y(0) = 1$ ， $y'(0) = 0$ 。求解并识别阻尼振荡频率 $\omega_d$ 。
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Ex. 95.24Application
解 $y'' + 4y' + 3y = 5e^{-x}$ （需要修正法则）。
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Ex. 95.25Application
解 $y'' - 4y' + 4y = e^{2x}$ （二重根 — 尝试升至 $x^2$ ）。
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Ex. 95.26Challenge
对 $y'' - y = \sec x$ 应用参数变易。结果有闭式吗？
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Ex. 95.27Challenge
Cauchy-Euler 方程： $x^2 y'' + xy' + y = 0$ 。尝试 $y = x^m$ 并求 $m$ 。
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Ex. 95.28Challenge
用降阶法和 $y_1 = e^{3x}$ 求 $y'' - y' - 6y = 0$ 的第二个解。
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Ex. 95.29Proof
证明：当 $\lambda$ 是 $a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$ 的二重根时，函数 $y_2 = xe^{\lambda x}$ 满足 $ay'' + by' + cy = 0$ 。
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Ex. 95.30ProofAnswer key
表述并论证 $ay'' + by' + cy = q(x)$ ， $y(x_0) = y_0$ ， $y'(x_0) = y_1$ 的存在性与唯一性定理。
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资料来源

Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · v6.6 · §2.2–2.3 · EN · CC-BY-SA。主要资料来源。
Calculus Volume 2 — OpenStax · §7.1–7.2 · EN · CC-BY-NC-SA。
Elementary Differential Equations — William F. Trench · §5.1–5.2, §5.6–5.7 · EN · 开放。