v1 · padrão canônico

Lição 97 — Circuitos RLC

Equação diferencial do circuito RLC série — análogo elétrico do massa-mola. Resposta livre, forçada e ressonância.

Used in: Spécialité Maths Terminale (França) · Leistungskurs Physik Klasse 12 (Alemanha) · H3 Mathematics (Singapura)

L\frac{d^2Q}{dt^2} + R\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = V(t)

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

严格推导与分类

基尔霍夫电压定律

在电源为 $V(t)$ 的 RLC 级联电路中，电压下降之和等于电源：

$V_L + V_R + V_C = V(t)$

使用 $V_L = L\,\dot I$ 、 $V_R = RI$ 、 $V_C = Q/C$ 和 $I = \dot Q$ ：

L\,\ddot{Q} + R\,\dot{Q} + \frac{Q}{C} = V(t)

what this means · RLC电路的微分方程——带常系数的二阶线性微分方程。

"方程 $LQ'' + RQ' + Q/C = V(t)$ 是RLC电路方程的标准形式，其数学形式与阻尼质量-弹簧系统 $mx'' + cx' + kx = F(t)$ 完全相同，其中 $L$ 扮演质量的角色， $R$ 是阻尼常数， $1/C$ 是弹簧常数。" — Lebl, Notes on Diffy Qs §2.6

机电类比表

完整的机电类比。质量-弹簧系统的每一种求解技术都直接转移到RLC。

特征方程分类

齐次方程 ( $V = 0$ )： $L\lambda^2 + R\lambda + 1/C = 0$ 。

$\Delta = R^2 - 4L/C$

Definition· 三种自由响应制度

过阻尼 ( $\zeta > 1$ , $\Delta > 0$ )：两个负实根 $\lambda$ 。缓慢指数返回平衡。 $Q_h(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t}$
临界阻尼 ( $\zeta = 1$ , $\Delta = 0$ )：重根 $\lambda = -R/(2L)$ 。返回更快无振荡。 $Q_h(t) = (C_1 + C_2 t)\,e^{\lambda t}$
欠阻尼 ( $\zeta < 1$ , $\Delta < 0$ )： $\lambda = -\zeta\omega_0 \pm i\omega_d$ 。阻尼振荡。 $Q_h(t) = e^{-\zeta\omega_0 t}\bigl(C_1\cos\omega_d t + C_2\sin\omega_d t\bigr)$

稳态响应（强迫）

对于 $V(t) = V_0\cos(\omega t)$ ，特解：

$Q_p(t) = \frac{V_0/L}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + (2\zeta\omega_0\omega)^2}}\cos(\omega t - \phi)$

其中 $\tan\phi = \dfrac{2\zeta\omega_0\omega}{\omega_0^2-\omega^2}$ 。

已解示例

Example— 97.1· 制度分类——元件数据

问题。 RLC级联电路： $L = 1$ H， $R = 6$ $\Omega$ ， $C = 1/8$ F。分类制度并写出一般齐次解。

策略。 计算 $\Delta = R^2 - 4L/C$ ；识别制度；写出 $Q_h$ 。

解决方案。

$\Delta = 36 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4 > 0$ — 过阻尼。

特征方程： $\lambda^2 + 6\lambda + 8 = 0 \Rightarrow \lambda = (-6 \pm 2)/2$ ，因此 $\lambda_1 = -2$ ， $\lambda_2 = -4$ 。

$Q_h(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 e^{-4t}$

验证。 $Q_h' = -2C_1 e^{-2t} - 4C_2 e^{-4t}$ ， $Q_h'' = 4C_1 e^{-2t} + 16C_2 e^{-4t}$ 。代入 $Q'' + 6Q' + 8Q$ ：收集 $e^{-2t}$ ： $4C_1 - 12C_1 + 8C_1 = 0$ ✓。收集 $e^{-4t}$ ： $16C_2 - 24C_2 + 8C_2 = 0$ ✓。

来源。 Lebl, Notes on Diffy Qs §2.6, Example 2.6.1 — CC-BY-SA

Example— 97.2· 欠阻尼制度与初始条件

问题。 $L = 1$ H， $R = 2$ $\Omega$ ， $C = 1/2$ F， $V = 0$ 。条件： $Q(0) = 1$ C， $I(0) = 0$ A。求 $Q(t)$ 。

策略。 计算 $\Delta$ ，识别欠阻尼制度，应用初始条件确定 $C_1, C_2$ 。

解决方案。

$\Delta = 4 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$ — 欠阻尼。

$\lambda = -1 \pm i$ ，因此 $\alpha = 1$ ， $\omega_d = 1$ 。

$Q_h(t) = e^{-t}(C_1 \cos t + C_2 \sin t)$

初始条件： $Q(0) = C_1 = 1$ 。

$\dot Q = e^{-t}[(-C_1 + C_2\omega_d)\cos t + (-C_2 - C_1\omega_d)\sin t]$ ... 与 $\omega_d = 1$ ：

$\dot Q(0) = -C_1 + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 1$ 。

$Q(t) = e^{-t}(\cos t + \sin t) = \sqrt{2}\,e^{-t}\cos\!\left(t - \frac{\pi}{4}\right)$

验证。 $Q(0) = 1$ ✓； $\dot Q(0) = -1 + 1 = 0$ ✓。幅度按 $\sqrt{2}e^{-t}$ 衰减 ✓。

来源。 Lebl, Notes on Diffy Qs §2.6, Exercise 2.6.2 — CC-BY-SA

Example— 97.3· 强迫响应——稳态

问题。 $L = 0{,}1$ H， $R = 10$ $\Omega$ ， $C = 10^{-3}$ F， $V(t) = 50\cos(100t)$ V。求稳态电流 $I_p(t) = \dot Q_p$ 。

策略。 计算 $Z(j\omega)$ 并使用 $\hat I = \hat V/Z$ 。

解决方案。

$\omega = 100$ rad/s。 $\omega_0 = 1/\sqrt{0{,}1 \times 10^{-3}} = 100$ rad/s — 共振！

$Z(j100) = 10 + j(100 \times 0{,}1 - 1/(100 \times 10^{-3})) = 10 + j(10 - 10) = 10$ $\Omega$ 。

$I_p(t) = \frac{50}{10}\cos(100t) = 5\cos(100t)$ A。

在共振处，阻抗为纯电阻，电流达到最大值。

验证。 $|Z|_{\omega=100} = 10$ $\Omega$ ✓； $I_{\max} = V_0/R = 50/10 = 5$ A ✓。

来源。 OpenStax University Physics Vol. 2, §14.5 Example 14.5 — CC-BY

Example— 97.4· 品质因数与带宽

问题。 AM收音机接收器： $L = 0{,}5$ mH， $C = 25$ pF， $R = 5$ $\Omega$ 。计算 $f_0$ 、 $Q_f$ 和 $\Delta f$ （带宽）。

策略。 直接应用 $f_0$ 、 $Q_f$ 和 BW 的公式。

解决方案。

$\omega_0 = 1/\sqrt{0{,}5 \times 10^{-3} \times 25 \times 10^{-12}} = 1/\sqrt{1{,}25 \times 10^{-14}} \approx 8{,}94 \times 10^6$ rad/s。

$f_0 = \omega_0/(2\pi) \approx 1{,}42$ MHz （AM范围）。

$Q_f = \omega_0 L/R = (8{,}94 \times 10^6 \times 0{,}5 \times 10^{-3})/5 = 4470/5 = 894$ 。

$\Delta f = f_0/Q_f = 1{,}42 \times 10^6/894 \approx 1{,}59$ kHz。

AM频道宽度为10 kHz—— $Q_f = 894$ 对AM来说过于选择，但适合FM立体声。

验证。 $\zeta = 1/(2Q_f) = 1/1788 \approx 5{,}6 \times 10^{-4} \ll 1$ — 强欠阻尼 ✓。

来源。 OpenStax University Physics Vol. 2, §14.6 — CC-BY

Example— 97.5· 无电阻LC电路——纯振荡

问题。 $L = 4$ H， $C = 1/16$ F， $R = 0$ ， $V = 0$ 。 $Q(0) = 0$ ， $I(0) = 2$ A。求 $Q(t)$ 和总能量。

策略。 无阻尼情况： $\ddot Q + \omega_0^2 Q = 0$ ，通解为正弦/余弦。

解决方案。

$\omega_0 = 1/\sqrt{4 \times 1/16} = 1/\sqrt{1/4} = 2$ rad/s。

$Q(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t)$ 。

$Q(0) = A = 0 \Rightarrow Q(t) = B\sin(2t)$ 。

$\dot Q(0) = 2B = 2 \Rightarrow B = 1$ 。

$Q(t) = \sin(2t), \quad I(t) = 2\cos(2t)$

能量： $E = \frac{1}{2}L I^2 + \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}(4)(4\cos^2 2t) + \frac{\sin^2 2t}{2(1/16)} = 8\cos^2 2t + 8\sin^2 2t = 8$ J （常数 ✓）。

来源。 Trench, Elementary Differential Equations §6.2, Exercise 6.2.3 — 开放

Exercise list

34 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 4Modeling 9Challenge 1Proof 2

Ex. 97.1ApplicationAnswer key
RLC电路： $L = 1$ H， $R = 4$ $\Omega$ ， $C = 1/4$ F， $V = 0$ 。识别制度并写出一般齐次解。
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Ex. 97.2Application
$L = 1$ H， $R = 1$ $\Omega$ ， $C = 1/2$ F， $V = 0$ 。分类并写出 $Q_h$ 。
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Ex. 97.3Application
$L = 1$ H， $R = 2$ $\Omega$ ， $C = 1/2$ F， $V = 0$ ， $Q(0) = 1$ C， $I(0) = 2$ A。解初值问题。
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Ex. 97.4ApplicationAnswer key
计算一个 $L = 2$ H 和 $C = 0{,}02$ F 的LC电路的自然频率 $\omega_0$ 和 $f_0$ 。
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Ex. 97.5ApplicationAnswer key
什么条件对 $R$ 、 $L$ 和 $C$ 保证临界阻尼？
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Ex. 97.6Application
$L = 0{,}1$ H， $R = 10$ $\Omega$ ， $C = 10^{-3}$ F。计算 $\zeta$ 并分类制度。
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Ex. 97.7ApplicationAnswer key
$V_0 = 100$ V， $R = 20$ $\Omega$ 。共振处的最大电流是多少？
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Ex. 97.8Application
$L = 10$ mH， $C = 100$ $\mu$ F， $R = 5$ $\Omega$ 。计算品质因数 $Q_f$ 和带宽。
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Ex. 97.9Application
在某个时刻： $L = 0{,}5$ H， $I = 4$ A， $C = 1$ $\mu$ F， $Q = 2$ mC。计算储存的总能量。
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Ex. 97.10Application
$L = 1$ H， $R = 6$ $\Omega$ ， $C = 1/8$ F， $V = 0$ ， $Q(0) = Q_0$ ， $I(0) = 0$ 。素描解 $Q(t)$ 并解释为什么不振荡。
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Ex. 97.11Application
$\omega_0 = 4$ rad/s， $\zeta = 0{,}5$ 。计算阻尼振荡频率 $\omega_d$ 。
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Ex. 97.12Application
欠阻尼电路， $\alpha = 1$ s $^{-1}$ 和 $\omega_d = 3$ rad/s。振荡周期是什么，幅度每个周期衰减多少因子？
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Ex. 97.13ModelingAnswer key
为 $V(t) = V_0\cos(\omega t)$ 推导一般特解 $Q_p(t)$ 的表达式。
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Ex. 97.14Modeling
对于 $V(t) = 120\cos(2\pi \times 60\,t)$ V 和 $|Z| = 40$ $\Omega$ 相位角30度，计算平均耗散功率。
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Ex. 97.15Modeling
AM收音机： $L = 0{,}25$ mH。哪个电容调谐1000 kHz？
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Ex. 97.16Modeling
RC滤波器： $R = 10$ k $\Omega$ ， $C = 10$ $\mu$ F， $V_s = 5$ V。 $V_C = 3{,}16$ V需要多长时间？
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Ex. 97.17ModelingAnswer key
RL电路： $L = 2$ H， $R = 4$ $\Omega$ ，直流源 $V_0 = 12$ V， $I(0) = 0$ 。求 $I(t)$ 和稳态值。
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Ex. 97.18ModelingAnswer key
理想LC电路 ( $R = 0$ ) 与 $L = 0{,}1$ H， $C = 100$ pF， $I(0) = 5$ mA， $Q(0) = 0$ 。电容上的最大电荷是多少？
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Ex. 97.19Understanding
当 $\omega \to \omega_0$ 时，LC电路（无电阻）强迫响应的幅度发生什么？
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Ex. 97.20Understanding
为了增加欠阻尼RLC电路自由振荡的周期，应该怎么做？
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Ex. 97.21Understanding
品质因数 $Q_f$ 的正确表达式是什么，它在物理上代表什么？
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Ex. 97.22UnderstandingAnswer key
在RLC电路和质量-弹簧之间的机电类比中，哪个电气元件对应于质量 $m$ ？
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Ex. 97.23Application
求 $R = 5$ $\Omega$ ， $L = 0{,}5$ H， $C = 0{,}02$ F 的RLC电路的极点。在复平面中表示。
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Ex. 97.24Application
$R = 10$ $\Omega$ ， $L = 0{,}1$ H， $C = 100$ $\mu$ F， $f = 50$ Hz。计算阻抗 $|Z|$ 。
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Ex. 97.25Application
欠阻尼RLC电路， $L = 1$ H， $R = 2$ $\Omega$ 。振荡幅度下降到一半需要多长时间？
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Ex. 97.26Application
微分方程： $\ddot Q + 6\dot Q + 25Q = 0$ ， $Q(0) = 0$ ， $\dot Q(0) = 2$ 。求解。
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Ex. 97.27Application
$\ddot Q + 4\dot Q + 13Q = 0$ 。求通解和阻尼振荡频率。
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Ex. 97.28Modeling
证明具有 $L, R, C > 0$ 和 $V = 0$ 的RLC电路总是渐近稳定的（所有瞬态衰减为零）。
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Ex. 97.29Modeling
为什么具有 $R > 0$ 的RLC电路的完整响应总是收敛到稳态 $Q_p$ ，无论初始条件如何？
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Ex. 97.30Modeling
FM接收器（88–108 MHz）， $L = 0{,}1$ mH。所需电容范围是多少？讨论可行性。
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Ex. 97.31Application
$\ddot Q + 4\dot Q + 13Q = 10\cos(2t)$ 。用待定系数法求特解。
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Ex. 97.32Challenge
证明RLC电路在共振处的电容器电压可以超过源电压 $Q_f$ 倍。计算 $Q_f = 100$ ， $V_0 = 5$ V 的情况。
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Ex. 97.33Proof
证明带正弦源的RLC电路耗散的平均功率在共振处最大，等于 $V_0^2/(2R)$ 。
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Ex. 97.34Proof
证明能量 $E(t) = \frac{1}{2}LI^2 + \frac{Q^2}{2C}$ 在自由RLC电路中（ $V = 0$ ， $R > 0$ ）单调非增。
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来源

Lebl, Jiří. Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers. 版本 6.4。CC-BY-SA。jirka.org/diffyqs — 主要参考；§2.6 涵盖RLC作为二阶微分方程应用。
Trench, William F. Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems. Brooks-Cole （开放）。digitalcommons.trinity.edu/mono/9 — 第6章用经典方法处理RL、RC和RLC电路。
OpenStax. University Physics Volume 2. CC-BY。openstax.org/details/books/university-physics-volume-2 — §14.5–14.6：共振、品质因数、带宽、物理视角。