Lição 98 — Método de Euler (numérico)

使用 $h = 0.5$ 的欧拉方法逼近 $y(1)$，给定 $y' = y^2$，$y(0) = 0$。

使用 $h = 0.1$ 的欧拉方法逼近 $y(0.2)$，给定 $y' = x + y$，$y(0) = 1$。与精确值 $y = 2e^x - x - 1$ 比较。

使用 $h = 0.25$ 的欧拉方法逼近 $y(1)$，给定 $y' = -y$，$y(0) = 1$。精确值：$e^{-1}$。

重复练习 98.3，$h = 0.1$。比较误差并验证该方法的一阶性。

使用 $h = 0.5$ 的欧拉方法求 $y' = 2x$，$y(0) = 0$，并估计 $y(2)$。与精确值比较。

使用 $h = 0.2$ 的欧拉方法求 $y' = y - x^2 + 1$，$y(0) = 0.5$，并估计 $y(0.4)$。

对于 $y' = y$，$y(0) = 1$，使用 $h = 0.1$ 估计欧拉方法在 $[0, 1]$ 上的局部误差。

确定欧拉显式方法在 $y' = -2y$ 中稳定性的最大步长 $h_{\max}$。

应用隐式欧拉，$h = 0.5$，求 $y' = -y$，$y(0) = 1$，并估计 $y(1)$。

应用 Heun 方法（RK2），$h = 0.5$，求 $y' = -y$，$y(0) = 1$，并估计 $y(0.5)$。

对于 $y' = x + y$，$y(0) = 1$：分别用 $h = 0.1$ 和 $h = 0.05$ 的欧拉方法计算 $y(0.2)$ 的误差。验证一阶性。

对于 $y' = y$，$y(0) = 1$，在 $[0, 1]$ 上全局误差小于 $10^{-4}$ 需要多少步欧拉方法？

模拟振荡器 $x'' + x = 0$，$x(0) = 1$，$x'(0) = 0$，使用欧拉方法，$h = 0.1$。计算 $(x_1, v_1)$、$(x_2, v_2)$、$(x_3, v_3)$。

验证欧拉方法不保持振荡器 $x'' + x = 0$ 的能量。与辛欧拉比较。

$P' = 0.3P(1 - P/1000)$，$P(0) = 100$。使用 $h = 1$ 的欧拉方法估计 $P(12)$（12个月）。画出计算点的草图。

RLC 电路：$L = 1$ H，$R = 0.5$ Ω，$C = 1$ F，$Q(0) = 1$，$I(0) = 0$。使用 $h = 0.1$ 的欧拉方法模拟 $Q(t)$ 3步。

$T' = -0.1(T - 20)$，$T(0) = 90$ °C。使用 $h = 5$ 分钟的欧拉方法估计 $T(10)$。

碳-14的半衰期为5730年。使用 $h = 500$ 年的欧拉方法估计5000年后剩余的分数。

为什么欧拉方法的全局误差为 $O(h)$（即使每步的局部误差为 $O(h^2)$）？

欧拉显式方法在什么情况下因数值不稳定性而变得不可用？

RK4 相比欧拉方法的主要优势是什么？

使用 $h = \pi/4$ 的欧拉方法逼近 $y(\pi/2)$，给定 $y' = \cos x$，$y(0) = 0$。与 $\sin(\pi/2) = 1$ 比较。

使用 $h = 0.5$ 的欧拉方法求 $y' = \sqrt{y}$，$y(0) = 1$。估计 $y(1)$ 并与精确值 $(1.5)^2 = 2.25$ 比较。

对于 $y' = \sqrt{y}$，$y(0) = 1$，用 $h = 0.5$ 比较欧拉与 Heun (RK2) 来估计 $y(0.5)$。精确值：$y(0.5) = (1.25)^2 = 1.5625$。

描述如何通过比较 $h$ 和 $h/2$ 的误差来实验验证数值方法的阶。

使用 $x_n$ 处 $y(x_{n+1})$ 的泰勒级数推导欧拉方法的局部误差。

推导平面 $h\lambda$ 中欧拉显式方法的稳定区域，并表明它是圆盘 $|1 + h\lambda| < 1$。

应用 RK4，$h = 0.1$，求 $y' = y$，$y(0) = 1$。将误差与欧拉比较，并确认 RK4 是四阶的。