Lição 99 — Lei de Newton do Resfriamento

$T_0 = 100$ °C, $T_{\text{amb}} = 22$ °C, $k = 0{,}04$ min$^{-1}$. Escreva $T(t)$ e calcule $T(15)$.

$T_0 = 100$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C, $T(10) = 55$ °C. Determine $k$.

$T_0 = 5$ °C (objeto frio), $T_{\text{amb}} = 25$ °C, $k = 0{,}06$ min$^{-1}$. Calcule $T(20)$.

$T_0 = 90$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C, $k = 0{,}05$ min$^{-1}$. Calcule a meia-vida da diferença de temperatura e a temperatura nesse instante.

$T_0 = 80$ °C, $T_{\text{amb}} = -10$ °C, $k = 0{,}03$ min$^{-1}$. Calcule $\tau$ e $T(\tau)$.

$T_0 = 100$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C, $k = 0{,}05$ min$^{-1}$. Em quanto tempo $T = 40$ °C?

$k = 0{,}04$ min$^{-1}$. Em quanto tempo a diferença de temperatura cai a menos de 1% do valor inicial?

Corpo encontrado às 22h: $T = 33$ °C. $T_{\text{amb}} = 18$ °C, $T_{\text{normal}} = 37$ °C, $k = 0{,}06$ h$^{-1}$. Estime a hora da morte.

Recipiente com líquido: $h = 20$ W/(m²K), $A = 0{,}04$ m², $m = 0{,}3$ kg, $c_p = 4000$ J/(kgK). Calcule $k$ e a constante de tempo $\tau$.

Derive a fórmula de $k$ a partir de duas medidas de temperatura $T_1$ (em $t_1$) e $T_2$ (em $t_2$) com $T_{\text{amb}}$ conhecida.

$T_0 = 100$ °C, $T_{\text{amb}} = 25$ °C, $k = 0{,}05$ min$^{-1}$. Use Euler com $h = 5$ min para estimar $T(15)$ e compare com o exato.

A diferença de temperatura entre objeto e ambiente cai de 80 °C para 40 °C em 10 min. Em quanto tempo adicionais ela cai de 40 para 20 °C?

Mostre que se $T_0 = T_{\text{amb}}$, a solução é constante. Interprete fisicamente.

Leite: $T_0 = 72$ °C, $T_{\text{amb}}^{\text{frio}} = 0$ °C, $k = 0{,}15$ s$^{-1}$. Em quanto tempo resfria a 4 °C?

Caso forense. Corpo encontrado às 23h com $T = 30$ °C. $T_{\text{amb}} = 20$ °C, $k = 0{,}07$ h$^{-1}$. Estime a hora da morte. Discuta as incertezas do método.

Objeto com fonte de calor interna constante: $T' = -k(T - T_a) + H$, onde $H = Q/(mc_p)$. Com $T_a = 22$ °C, $k = 0{,}05$ min$^{-1}$, $H = 5$ °C/min. Qual a temperatura de equilíbrio?

Objeto aquecendo: medições $T(0) = 20$, $T(30) = 40$, $T(60) = 55$ °C. Estime $T_{\text{amb}}$ e $k$ assumindo que uma das três equações pode estar ruidosa.

Processador com dissipação $H = 2$ °C/min, $T_a = 25$ °C. Para manter $T \leq 40$ °C, qual o mínimo de $k$ necessário no sistema de resfriamento?

Como varia a taxa de resfriamento $|T'(t)|$ ao longo do tempo para um objeto com $T_0 > T_{\text{amb}}$?

Como $k$ depende das propriedades físicas do sistema? O que acontece com a constante de tempo $\tau$ quando $k$ aumenta?

Em que situações a lei de Newton do resfriamento deixa de ser válida?

Duas medições: $T(0) = 30$ °C, $T(1) = 28$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C. Determine $k$ e estime $T(5)$.

$T(0) = 30$ °C, $T(1) = 28$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C. Determine $k$ e calcule $T(5)$.

Servidor: $P = 2000$ W, $hA = 200$ W/K, $T_a = 24$ °C. Qual a temperatura de equilíbrio? O que é necessário para manter abaixo de 27 °C?

$T_a(t) = 20 + 8\cos(\pi t/12)$ °C (variação diária com período 24 h). Escreva a solução formal de $T' = -k(T - T_a(t))$ e discuta como a amplitude das oscilações de $T$ se compara à de $T_a$.

Mostre que o PVI $T' = -k(T - T_a)$, $T(0) = T_0$ tem solução única para todo $t \geq 0$.

Verifique por substituição direta que $T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}})e^{-kt}$ satisfaz a EDO e a condição inicial.

Resfriamento mútuo. Dois objetos trocam calor entre si: $T_1' = -k_1(T_1-T_2)$, $T_2' = -k_2(T_2-T_1)$. $T_1(0) = 100$ °C, $T_2(0) = 20$ °C. Ache a temperatura de equilíbrio e a taxa de aproximação.

Peça de aço: $T_0 = 850$ °C, $T_{\text{amb}} = 30$ °C, $k = 0{,}02$ min$^{-1}$. Quanto tempo para resfriar a 200 °C?

Compare a lei de Newton do resfriamento com o decaimento radioativo. Quais são as semelhanças matemáticas? Qual a diferença no equilíbrio?