Lição 101 — Amostragem: tipos, vieses e distribuição amostral

一家工厂生产螺栓，平均重量 $\mu$ 和标准差 $\sigma = 50$ 克。收集 $n = 100$ 个螺栓的样本。计算样本均值的标准误。

一项调查开始时 $n = 25$。你需要增加 $n$ 多少倍才能使标准误减半？使用公式解释。

银行分行的等待时间服从正态分布，$\mu = 120$ 秒，$\sigma = 15$ 秒。收集 $n = 9$ 位客户的样本。 $\bar X > 125$ 秒的概率是多少？

一家医院想估计患者对医疗服务的满意度。院长知道性别和年龄段对感知有很大影响。哪种抽样类型最合适？证明理由。

网店在每次购买后发送电子邮件请求评价。仅有12%的客户回应。识别最可能的偏差类型并解释其对估计的影响。

一项调查想估计农村地区有互联网接入的住户比例，误差边界为4%，95%置信度。最小样本量是多少？

一位顾问分析了50家5年前成立且仍在运营的初创公司的增长，得出结论"初创公司平均每年增长120%"。存在什么偏差？

证明样本均值 $\bar X$ 是（a）无偏、（b）一致和（c）有效的 $\mu$ 估计量，在线性估计量的类中。

关于公共交通支出的研究收集 $n = 400$ 条记录。历史标准差为 \sigma = R\,40$。计算标准误并解释其意义。

IBGE想估计巴西公司的平均收入。描述SRS、按部门分层和按整群的抽样如何进行。哪个会更有效？为什么？

对于固定 $n$ 和iid总体的样本均值 $\bar X$，哪个陈述是正确的？

为什么，在许多实际调查中，样本均值有近似正态分布，即使不知道总体的确切分布？

声明："在简单随机抽样中，每个个体有相同的被选中概率。这等价于说每个 $n$ 个个体的集合有相同的概率成为样本。"这个声明正确吗？

考试的历史平均分为 $\mu = 3{,}5$，标准差 $\sigma = 1{,}5$。对于 $n = 36$ 的班级，班级平均分小于3.2的概率是多少？

IBGE需要估计巴西所有市镇的基本卫生设施接入情况，预算有限。虽然没有住户清单，但有市镇和街道清单。提议一个抽样计划。

一项有 $n = 400$ 名选民的调查发现 $\hat p = 60\%$ 的市政府批准率。计算标准误和95%置信度的误差边界。

计算估计比例的最小样本量，误差边界为(a) 5%和(b) 2.5%，均为95%置信度。解释结果之间的关系。

一家公司有3000个按合同号码排序的客户。想为调查选择300个。描述系统抽样的程序并讨论何时可能引入偏差。

大米袋的重量有 $\mu = 70$ 公斤和 $\sigma = 10$ 公斤。对于 $n = 64$ 的样本，计算 $P(68 \leq \bar X \leq 72)$。

一所大学对目前在读学生进行满意度调查。在这种方法中最相关的偏差是什么？

不了解 $p$ 的先验知识，估计95%置信、误差边界为2%的比例的最小样本量是多少？

一名研究者在工作日9时至17时敲门采访市民居民，想估计平均家庭收入。识别偏差并描述其方向（是低估还是高估平均收入？）。

医生咨询的时间有 $\sigma = 12$ 分钟。计算 $n = 25$ 和 $n = 100$ 时均值的标准误，并比较。

一个城市的月用电量有 $\mu = 500$ 度电和 $\sigma = 80$ 度电。对于 $n = 100$ 个随机抽取的住户，计算 $P(\bar X > 510)$。

IBGE在PNAD连续调查中使用约21.1万住户。全国失业率约为12%。(a) 以 $\pm 0{,}5\%$ 误差边界、95%置信度估计失业率的理论最小 $n$ 是多少？(b) 为什么IBGE使用大得多的 $n$？

一家银行想估计其50万客户信用组合中的平均逾期率。不履约变异在收入水平间差异很大。提议一个高效的抽样计划并证明按层分配。

一位财务分析师比较历史平均收益率的活跃投资基金，得出主动经理人跑赢指数的结论。数据仅包括至今仍存在的基金。识别偏差并解释它如何影响结论。

代数证明 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum(X_i - \bar X)^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量。为什么分母是 $n-1$ 而不是 $n$？

对 $X_i \in [0, 1]$ 应用Hoeffding不等式：$P(|\bar X - \mu| > t) \leq 2\exp(-2nt^2)$。对于 $t = 0{,}05$，计算 $n = 100$ 和 $n = 1000$ 的界。解释结果。

形式化证明样本均值 $\bar X = \frac{1}{n}\sum X_i$ 是 $\mu$ 的（a）无偏和（b）一致估计量，对部分(b)使用Chebyshev不等式。