Lição 102 — Intervalo de confiança para a média

新兵身高数据：$\sigma = 10$ cm，$n = 100$，$\bar X = 165$ cm。构造平均身高的95%置信区间。

使用练习102.1相同的数据，构造90%和99%置信区间，并比较三种置信水平。

每周工作时长：$n = 25$，$\bar X = 45$ 小时，$s = 8$ 小时。使用 t 分布构造95%置信区间。

某测量仪器的 $\sigma = 15$ 个单位（已知）。若要以95%的置信水平、最大误差限3个单位估计均值，最小样本量 $n$ 是多少？

某城市 $n = 12$ 所私立高校的月学费：\bar X = R\,1,500$（巴西雷亚尔），$s = R$,200$（巴西雷亚尔）。构造95%置信区间。

已知 $\sigma = 10$，当前 $n = 16$ 时95%置信区间宽度为9.8。若要将宽度缩减至5，需要多大的 $n$？

若样本量翻倍，误差限的百分比变化是多少？若要将误差限减半，需将 $n$ 乘以多少？

笔记本电脑电池续航时长：$n = 36$，$\bar X = 200$ 分钟，$s = 30$ 分钟。构造95%置信区间。

某特定品种狗的体重：$n = 9$，$\bar X = 15$ kg，$s = 1{,}2$ kg。构造95%置信区间。

"$\mu$ 的95%置信区间为 [45; 55]"这一表述意味着：

以下哪种操作能同时使置信区间变窄且置信水平更高？

税务审计员希望以 \sigma = R\,500$（巴西雷亚尔）、误差限$R$,100$（巴西雷亚尔）、99$n$ 是多少？

$n = 20$ 个家庭的月食品支出：\bar X = R\,500$（巴西雷亚尔），$s = R$,50$（巴西雷亚尔）。使用 Student t 构造95%置信区间。

比较 $n = 9$ 和 $n = 100$ 在95%置信水平下的 t 分位数，并解释为什么小样本的置信区间要宽得多。

$n = 8$ 个公寓的日用水量（升）：5.2 | 4.8 | 5.5 | 4.9 | 5.1 | 5.3 | 4.7 | 5.0。构造95%置信区间。

血糖：$\sigma = 25$ mg/dL（来自历史研究）。若要在95%的置信水平下，误差限不超过5 mg/dL，最小样本量 $n$ 是多少？

某冶金工人工会收集了 $n = 25$ 名工人的薪资数据：\bar X = R\,1,800$（巴西雷亚尔），$s = R$,200（巴西雷亚尔）。工会声称真实平均薪资低于 R\ 1.883（巴西雷亚尔）。95%置信区间是否支持这一说法？

$n = 30$ 名健康成年人的体温：$\bar X = 36{,}8$°C，$s = 0{,}5$°C。构造95%置信区间。经典值37°C与这些数据相符吗？

某经济学家希望以95%的置信水平、0.5个百分点的误差限估计季度GDP的平均增长率。若 $\sigma \approx 2$ 个百分点（历史波动），需要多少个季度的数据？请讨论其实际可行性。

90%置信区间的宽度为 $A_{90}$。在样本和 $\sigma$ 相同的条件下，99%置信区间是90%置信区间的多少倍宽？

青少年每周屏幕时间：$\sigma = 3$ 小时，$n = 49$，$\bar X = 12$ 小时。构造95%置信区间。每周10小时的假设合理吗？

胆固醇：$\sigma = 8$ mg/dL。若要在99%的置信水平下误差限为2 mg/dL，$n$ 最小为多少？

电池续航时间：$n = 40$，$\bar X = 520$ 小时，$s = 60$ 小时。构造95%置信区间。厂商声称平均续航500小时，数据是否支持？

在其他条件不变的情况下，将 $n$ 从25增大到100，95%置信区间会发生什么变化？

巴西社会保障局 (INSS) 收集了 $n = 100$ 份退休申请：$\bar X = 37$ 天，$s = 15$ 天。法定目标为45天。构造95%置信区间，并对照目标进行解释。

对 $n = 20$ 名工人的月收入数据，比较均值的95%置信区间（使用 t）与中位数的95%置信区间（使用顺序统计量）。哪种更适合描述"典型"收入？为什么？

利用标准正态分布的对称性，形式化地推导 $\sigma$ 已知时 $\mu$ 的 $(1-\alpha)$ 置信区间。在 $P(L \leq \mu \leq U) = 1 - \alpha$ 中，明确指出哪个量是随机的、哪个是固定的。

证明当 $X_i \overset{\text{iid}}{\sim} \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ 时，$T = (\bar X - \mu)/(S/\sqrt{n}) \sim t_{n-1}$。需要建立哪三个关键性质？

证明置信区间与假设检验的对偶性："在显著性水平 $\alpha$ 下拒绝 $H_0: \mu = \mu_0$，等价于 $\mu_0$ 落在 $(1-\alpha)$ 置信区间之外"。利用这一对偶性解释置信区间如何作为对所有 $\mu_0$ 值的双侧同时检验工具。

在某公立学校参加 ENEM 考试的 $n = 200$ 名学生中，65人作文成绩超过700分。构造真实通过率的95%置信区间。