Lição 109 — Estatística bayesiana introdutória

某疾病的患病率：1%。测试灵敏度：95%。假阳性率：10%。患者测试呈阳性。计算患有该疾病的概率。

一枚硬币掷10次，得到4次正面。先验：Beta(1,1)（均匀）。计算后验、后验平均值并与MLE比较。

先验：Beta(4, 6)。样本：10次中有7次成功。计算后验、后验平均值和MAP。

先验：Beta(2, 2)。批次1：10次中有5次成功。批次2：10次中有8次成功。进行顺序更新，计算最终后验平均值。

患病率：0.5%。灵敏度：99%。假阳性率：2%。患者测试呈阳性。患有该疾病的概率是多少？

10次试验中有3次成功。比较先验Beta(1,1)和Beta(5,5)的后验平均值。哪个先验对后验影响更大？

三家工厂生产螺钉：E1（产量的60%，缺陷率30%）、E2（30%，缺陷率50%）、E3（10%，缺陷率10%）。取出一个缺陷螺钉。它来自E1的概率是多少？

先验：Beta(3, 3)（对公平硬币的轻微信念，平均值0.5）。掷5次，出现0次正面。计算后验和新的平均值。

先验：Beta(1,1)。数据：20次中15次成功。计算MAP和MLE。它们相等吗？为什么？

袋子里有两枚硬币：一枚总是出现正面(H)，另一枚公平(J)。随机选一枚。掷两次，都是正面。是硬币H的概率是多少？

95%贝叶斯可信区间意味着什么？

关于MAP和MLE哪个陈述是错误的？

样本大小n如何影响先验和后验之间的关系？

一名学生通过了考试($A$)。已知：$P(A \mid B_1) = 0.8$（学了很多，概率60%），$P(A \mid B_2) = 0.2$（没学，概率40%）。已知他通过了，学了很多的概率是多少？

机器的成功率未知。先验：Beta(4, 2)（4次成功和2次失败的历史）。新测试：6次连续成功。计算后验、平均值和MAP。

在10次掷币中得到8次正面后，计算$H_1: \theta = 0.7$ vs $H_0: \theta = 0.5$的贝叶斯因子。

三批各10次试验：7次成功、6次成功、7次成功。先验：Beta(1,1)。进行顺序更新，计算最终后验平均值。

患病率：30%。灵敏度：95%。假阳性率：20%。患者测试呈阳性。计算患有该疾病的概率，并与练习109.1比较。

证明Beta-Bernoulli模型的后验平均值是先验和样本比例之间的加权平均。识别权重。

先验：Beta(2, 2)。数据：3次中0次成功。计算后验、MAP和后验平均值。

在福塔莱萨某一天下雨的概率：40%。若要下雨，有85%的可能会有浓密乌云。若不下雨，有30%的可能。有浓密乌云。下雨的概率是多少？

生产历史：10%缺陷（相当于100件产品中有10个缺陷 = Beta(10,90)）。新检查：20件中有3个缺陷。计算后验和后验平均值。

袋子里有3枚硬币：1枚总出现正面(H)，2枚公平(J)。随机取一枚并掷一次：出现正面。是硬币H的概率是多少？

先验Beta(1,1)。数据：20次中10次成功。描述后验和95%中心可信区间（使用Beta(11,11)的2.5%分位数≈0.31）。

一个培训班历史上在ENEM中通过率为70%。新班级，20名学生：15人通过。提出合适的Beta先验，计算后验和通过率的后验平均值。

胰腺癌患病率：0.2%。活检：灵敏度92%，特异度97%。阳性检查。计算P(癌 | 正)并讨论医学决定。

物流公司报告在监管的50次交付中有20次延迟。使用先验Beta(1,1)，以90%可信区间估计延迟率。

一家金融科技公司知道1%的交易是欺诈性的。一个算法检测到当前交易的值超出了客户的正常范围。P(异常值 | 欺诈) = 85%，P(异常值 | 合法) = 2%。计算欺诈的概率。

证明对于具有Beta先验的Bernoulli模型，后验也是Beta。识别参数。

论证对于Bernoulli模型，使用Beta(1,1)先验（均匀）时，MAP估计量与MLE重合。

垃圾邮件过滤器：20%的邮件是垃圾。在垃圾邮件中，每个可疑关键词出现的概率为60%；在合法邮件中为5%。一封邮件有3个关键词。是垃圾的概率是多少？

两组大鼠：系列1（10个动物，暴露后8个肿瘤）和系列2（10个动物，3个肿瘤）。两个费率的先验Beta(1,1)。计算每个系列的后验和后验平均值。

一个罐子内橙球的比例未知。100次有放回抽取后，50个是橙色。先验Beta(1,1)。计算后验、平均值和95%可信区间。

Bernoulli的Jeffreys先验是Beta(0.5; 0.5)。在10次中6次成功后，计算后验。研究该先验意味着什么"对参数化不变"，并将后验平均值与先验Beta(1,1)比较。