Lição 110 — Consolidação Trim 11: Inferência Estatística

$n = 64$，$\bar x = 50$，$\sigma = 8$（已知）。为 $\mu$ 构建95%置信区间。

用上一个练习的数据（$\bar x = 50$，$s = 8$，$n = 64$），检验 $H_0: \mu = 48$ vs $H_1: \mu \neq 48$ 在5%水平上。计算 $T$ 并做决定。

两个独立样本：$\bar x_1 = 100$，$s_1 = 10$，$n_1 = 50$；$\bar x_2 = 95$，$s_2 = 12$，$n_2 = 60$。在5%水平上执行双侧Welch t检验。

三个组各 $n_i = 20$ 株植物，平均 $\bar X_1 = 10$，$\bar X_2 = 12$，$\bar X_3 = 14$。假设 $\sigma^2 = 4$（组内方差），计算方差分析的 $F$ 并在5%水平上做决定。

拟合模型：$\hat Y = 5 + 2X$。对 $X = 10$ 的点预测是多少？

$R^2 = 0{,}8$，$n = 50$，$p = 4$ 个预测变量。计算 $R^2_{\text{adj}}$。

列联表 $2 \times 3$ 产生 $\chi^2 = 8$。自由度有多少个？在5%水平上有关联吗？

先验 $\theta \sim \text{Beta}(2, 2)$。观察 $X = 8$ 次成功在 $n = 10$ 次试验中。$\theta$ 的后验分布是什么？

用上一个练习的后验 $\text{Beta}(10, 4)$，计算后验平均和MAP（后验分布的众数）。

从标准正态分布表中找：$z_{0,025}$ 是多少？（答：$1{,}960$。）

从 t 表中找：$t_{0,025;\,19}$。（答：$2{,}093$。）

从F表中找 $F_{0,05;\,2,\,27}$。（答：${\approx}\,3{,}35$。）

找 $\chi^2_{0,05;\,4}$。（答：$9{,}488$。）

哪个检验适合比较公司中男性和女性的平均薪资，样本独立，方差未知？

调查有100个人，记录性别（男/女）和偏好政党（A/B/C）。哪个检验验证变量间的关联？

一项研究测试4种药物剂量（低、中、高、安慰剂）对20个患者/组的体重减轻（kg）的影响。分析方法是什么？

测量20个人的体重在3个月节食前后。数据是配对的。正确的检验是什么？

在双侧检验中得到统计量 $Z = 2{,}1$。计算p值并在 $\alpha = 5\%$ 水平上做决定。

对于95%置信区间，误差界 $E = 2$ 和 $\sigma = 10$，最小样本量是多少？

Cohen的 $d = 0{,}5$。按Cohen惯例，效应量大小是多少？

列联表产生Cramér的 $V = 0{,}25$。分类效应量。

方差分析产生 $\eta^2 = 0{,}10$。效应量大小是多少？

$BF_{10} = 5$。按Jeffreys量表，这代表对 $H_1$ 的什么样强度的证据？

各用一句话：频率论置信区间（95%）和贝叶斯可信区间（95%）的解释有什么区别？

在一个假设检验中，用一句话区分第一类错误与第二类错误。

区分：统计显著性与实际显著性。为什么一个结果可能在统计上显著但实际上无关？

区分：统计关联与因果关系。为什么线性回归衡量关联而不是原因？

区分：配对数据与独立样本。各举一个例子。

在多元回归中区分：$R^2$ 与 $R^2_{\text{adj}}$。为什么第二个对于比较预测变量数量不同的模型更可靠？

在贝叶斯推断中，区分：先验分布与后验分布。

A/B测试：版本A在1000名访客中获得80次转化；版本B获得110/1000。应用比例差异的z检验（频率论）并用先验 $\text{Beta}(1,1)$ 估计 $P(\theta_B > \theta_A)$ 的贝叶斯方法。

临床试验：药物降低血压。对 $n = 64$ 名患者，配对差值（用药前$-$用药后）有 $\bar D = 7$ mmHg 和 $s_D = 5$ mmHg。进行配对t检验（单侧：$H_1: \mu_D > 0$）并为平均减少量构建95%置信区间。

房产价格回归：仅用 $m^2$ 的模型有 $R^2 = 0{,}70$（$n = 200$）。添加卧室数后，$R^2 = 0{,}78$。计算每个模型的 $R^2_{\text{adj}}$ 并决定额外预测变量是否合理。

五种饮食，每种30个人。概述完整分析协议：假设检验、方差分析、事后分析和所有要报告的内容。

选举调查：4个地区（北、东北、东南、南）$\times$ 3名候选人。列联表，$N = 400$。计算自由度，执行卡方、Cramér的V，并识别最大标准化残差的单元格。

证明为什么 $p = 0{,}06$ 不构成 $H_0$ 为真的证据。

证明一个二元虚拟变量的简单线性回归（0/1指示组）产生完全相同的结果作为两个独立样本t检验（等方差）。

证明当方差分析仅有 $k = 2$ 组时，F统计量等于双侧t检验的T统计量的平方。明确自由度。

证明带均匀先验的MAP估计量与最大似然估计（MLE）完全相同。从MAP定义开始。

用伪代码或结构化列表描述电商转化率A/B测试的完整流程：从功效分析（最小可检测效应2个百分点，$\alpha = 5\%$，80%功效）到最终报告，包括统计审查者需要的所有元素。

用详细文本（至少200字）比较在在线A/B测试中何时优选频率论方法与贝叶斯方法。考虑：可解释性、序列决策、先验融入和错误保证。

通过积分（或通过核识别）证明如果 $\theta \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)$ 且 $X \mid \theta \sim \text{Bin}(n, \theta)$，则 $\theta \mid X \sim \text{Beta}(\alpha + X,\; \beta + n - X)$。