v1 · padrão canônico

Lição 111 — Espaços vetoriais: axiomas, subespaços, base, dimensão

Definição abstrata via 8 axiomas. Subespaços, combinação linear, base, dimensão. O salto da geometria de setas para a estrutura algébrica que sustenta toda a álgebra linear moderna.

Used in: Leistungskurs Algebra Linear (Klasse 12 alemã) · H2 Mathematics — Singapura · Math III japonês (vetores e espaços)

\dim V = n \iff V \cong K^n

Livros que cobrem esta lição

A First Course in Linear Algebra — Robert Beezer · §VS (Vector Spaces), §S (Subspaces), §LI (Linear Independence), §B (Bases), §D (Dimension) · GNU FDL · Definições e teoremas com demonstrações detalhadas; exercícios numerados usados nesta lição.
Linear Algebra — Jim Hefferon · Capítulo 2 (Vector Spaces), §2.I–2.III · CC-BY-SA · Abordagem axiomática rigorosa com exemplos de espaços de polinômios e matrizes; todos os exercícios sourced nesta lição vêm do cap. 2.
Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · Capítulo 1 (Vector Spaces), Capítulo 2 (Finite-Dimensional Vector Spaces) · CC-BY-NC · Exposição elegante sem determinantes-first; blockquotes da porta formal extraídos daqui; exercícios de demonstração sourced do cap. 2.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição axiomática

Os 8 axiomas de espaço vetorial

Definition· K-espaço vetorial

Seja $K$ um corpo (tipicamente $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). Um $K$ -espaço vetorial é um conjunto não-vazio $V$ equipado com duas operações:

adição: $+ : V \times V \to V$
multiplicação por escalar: $\cdot : K \times V \to V$

satisfazendo, para todos $u, v, w \in V$ e $a, b \in K$ :

#	Axioma	Fórmula
1	Associatividade	$(u + v) + w = u + (v + w)$
2	Comutatividade	$u + v = v + u$
3	Neutro aditivo	$\exists\, \mathbf{0} \in V : v + \mathbf{0} = v$
4	Oposto	$\exists\, (-v) \in V : v + (-v) = \mathbf{0}$
5	Distributividade vetorial	$a(u + v) = au + av$
6	Distributividade escalar	$(a + b)v = av + bv$
7	Compatibilidade	$a(bv) = (ab)v$
8	Identidade escalar	$1 \cdot v = v$

"We will use the term field to refer to either $\mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$ . Elements of a field are called scalars. A vector space is a set $V$ along with an addition on $V$ and a scalar multiplication on $V$ such that the following properties hold..." — Axler — Linear Algebra Done Right, §1A

"A subset $W$ of $V$ is called a subspace of $V$ if $W$ is a vector space under the addition and scalar multiplication defined on $V$ ." — Beezer — A First Course in Linear Algebra, §VS

Definition· Combinação linear, span, independência linear, base

Dado $S = \{v_1, \ldots, v_k\} \subseteq V$ :

Combinação linear: $c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k$ com $c_i \in K$ .
Span (espaço gerado): $\text{span}(S) = \{c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k : c_i \in K\}$ — o menor subespaço contendo $S$ .
Linearmente independente (LI): $c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k = \mathbf{0} \Rightarrow c_1 = \cdots = c_k = 0$ .
Base: $\mathcal{B} \subseteq V$ que é LI e $\text{span}(\mathcal{B}) = V$ .
Dimensão: $\dim V = |\mathcal{B}|$ — bem-definido pelo teorema abaixo.

SVG — Hierarquia dos conceitos

Hierarquia: corpo fornece escalares; V satisfaz 8 axiomas; base tem dim V elementos; classificação dá V ≅ Kⁿ.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Verificação dos 8 axiomas para polinômios (aplicacao)

Problema: Mostre que $\mathcal{P}_2 = \{a_0 + a_1 x + a_2 x^2 : a_i \in \mathbb{R}\}$ com soma usual de polinômios e multiplicação por escalar real é espaço vetorial sobre $\mathbb{R}$ .

Estratégia: Verificar os 8 axiomas diretamente para polinômios genéricos. A maioria herda das propriedades dos reais (corpo).

Resolução:

Tome $p = a_0 + a_1 x + a_2 x^2$ e $q = b_0 + b_1 x + b_2 x^2$ em $\mathcal{P}_2$ , e $c, d \in \mathbb{R}$ .

Fechamento: $p + q = (a_0+b_0) + (a_1+b_1)x + (a_2+b_2)x^2 \in \mathcal{P}_2$ . $cp = ca_0 + ca_1 x + ca_2 x^2 \in \mathcal{P}_2$ .

Axioma 1 (assoc.): $(p+q)+r = p+(q+r)$ — coeficientes são reais, associatividade herdada.

Axioma 2 (comut.): $p+q = q+p$ — coeficientes são reais, comutatividade herdada.

Axioma 3 (neutro): $\mathbf{0} = 0 + 0x + 0x^2$ . Claramente $p + \mathbf{0} = p$ .

Axioma 4 (oposto): $-p = -a_0 - a_1 x - a_2 x^2 \in \mathcal{P}_2$ e $p + (-p) = \mathbf{0}$ .

Axioma 5: $c(p+q) = c(a_0+b_0) + \ldots = cp + cq$ . Distributividade dos reais.

Axioma 6: $(c+d)p = (c+d)a_0 + \ldots = cp + dp$ . Idem.

Axioma 7: $c(dp) = c(da_i x^i) = (cd)a_i x^i$ . Associatividade da multiplicação real.

Axioma 8: $1 \cdot p = 1 \cdot a_0 + 1 \cdot a_1 x + 1 \cdot a_2 x^2 = p$ .

Todos os 8 axiomas verificados. Logo $\mathcal{P}_2$ é $\mathbb{R}$ -espaço vetorial.

Verificação: A base canônica $\{1, x, x^2\}$ é LI (nenhum é combinação linear dos outros) e gera $\mathcal{P}_2$ . Logo $\dim \mathcal{P}_2 = 3$ , consistente com 3 coeficientes livres.

Fonte. Beezer — A First Course in Linear Algebra, §VS Exemplo VS.EXS — GNU FDL.

Example— 2· Verificar subespaço: matrizes simétricas (intermediario)

Problema: Mostre que $W = \{A \in \mathcal{M}_{2 \times 2} : A^T = A\}$ (matrizes $2\times2$ simétricas) é subespaço de $\mathcal{M}_{2\times2}$ .

Estratégia: Verificar os 3 critérios de subespaço: zero, fechamento por soma e por escalar.

Resolução:

Zero: A matriz nula satisfaz $\mathbf{0}^T = \mathbf{0}$ , logo $\mathbf{0} \in W$ .

Fechamento por soma: Sejam $A, B \in W$ , ou seja $A^T = A$ e $B^T = B$ . Então: $(A + B)^T = A^T + B^T = A + B.$ Logo $A + B \in W$ .

Fechamento por escalar: Seja $c \in \mathbb{R}$ e $A \in W$ . Então: $(cA)^T = c A^T = c A.$ Logo $cA \in W$ .

Os 3 critérios verificados: $W$ é subespaço.

Verificação: Uma base de $W$ é $\left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right\}$ — três matrizes LI, logo $\dim W = 3$ . Faz sentido: simetria impõe $a_{12} = a_{21}$ , deixando 3 entradas livres ( $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ ).

Fonte. Hefferon — Linear Algebra, Capítulo 2 §2.I Exercício 2.I.1.17 — CC-BY-SA.

Example— 3· Encontrar base e dimensao de um span (intermediario)

Problema: Encontre uma base e a dimensão do subespaço $W = \text{span}\{v_1, v_2, v_3\}$ onde $v_1 = (1, 2, 3)$ , $v_2 = (2, 4, 6)$ , $v_3 = (1, 0, 1)$ .

Estratégia: Montar a matriz com os vetores como linhas e escalonar. Linhas não-nulas da forma escalonada formam uma base do span.

Resolução:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{L_2 - 2L_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{L_3 - L_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{trocar } L_2, L_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Duas linhas não-nulas. Uma base de $W$ :

$\mathcal{B} = \{(1, 2, 3),\ (0, -2, -2)\} \quad \text{ou equivalentemente} \quad \{(1, 2, 3),\ (0, 1, 1)\}$

Logo $\dim W = 2$ .

Verificação: $v_2 = 2v_1$ (dependente — confirma que não contribui). $v_3 = v_1 - (0,2,2)/2 \cdot 1 + \ldots$ — pode ser escrito como combinação de $(1,2,3)$ e $(0,1,1)$ . O span é um plano em $\mathbb{R}^3$ .

Fonte. Beezer — A First Course in Linear Algebra, §LI Exemplo LI.LIHS — GNU FDL.

Example— 4· Coordenadas numa base nao canonica (avancado)

Problema: Seja $\mathcal{B} = \{b_1, b_2\} = \{(1, 1), (1, -1)\}$ uma base de $\mathbb{R}^2$ . Encontre as coordenadas do vetor $v = (5, 1)$ nesta base.

Estratégia: Resolver o sistema $c_1 b_1 + c_2 b_2 = v$ para os escalares $c_1, c_2$ — as coordenadas de $v$ na base $\mathcal{B}$ .

Resolução:

$c_1 \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}$

Sistema: $\begin{cases} c_1 + c_2 = 5 \\ c_1 - c_2 = 1 \end{cases}$

Somando: $2c_1 = 6 \Rightarrow c_1 = 3$ . Subtraindo: $2c_2 = 4 \Rightarrow c_2 = 2$ .

As coordenadas de $v$ na base $\mathcal{B}$ são $[v]_\mathcal{B} = (3, 2)$ .

Verificação: $3(1,1) + 2(1,-1) = (3,3) + (2,-2) = (5, 1)$ . Correto.

Nota: o vetor $v = (5,1)$ é o mesmo objeto geométrico; o que muda são suas representações numéricas dependendo da base escolhida. Mudança de base apenas muda as coordenadas, não o vetor.

Fonte. Axler — Linear Algebra Done Right, §2B — CC-BY-NC.

Example— 5· Demonstracao: 0 cdot v = 0 usando os axiomas (demonstracao)

Problema: Usando somente os 8 axiomas de espaço vetorial, demonstre que $0 \cdot v = \mathbf{0}$ para todo $v \in V$ (onde $0$ é o escalar zero e $\mathbf{0}$ é o vetor neutro).

Estratégia: O escalar $0$ não aparece diretamente nos axiomas. A estratégia é usar $0 = 0 + 0$ (propriedade dos escalares) e o axioma 6 (distributividade escalar), depois cancelar usando o oposto.

Resolução:

Seja $w = 0 \cdot v$ . Queremos mostrar $w = \mathbf{0}$ .

Passo 1. No corpo $K$ , temos $0 = 0 + 0$ (zero é neutro da adição em $K$ ).

Passo 2. Pelo axioma 6 (distributividade escalar): $0 \cdot v = (0 + 0) \cdot v = 0 \cdot v + 0 \cdot v = w + w.$

Passo 3. Logo $w = w + w$ .

Passo 4. Adicionando $(-w)$ (oposto de $w$ , axioma 4) em ambos os lados: $w + (-w) = (w + w) + (-w) = w + (w + (-w)) \quad \text{(axioma 1)}$ $\mathbf{0} = w + \mathbf{0} \quad \text{(axioma 4 e 3)}$ $\mathbf{0} = w.$

Portanto $0 \cdot v = \mathbf{0}$ . $\blacksquare$

Verificação: O resultado é um teorema, não axioma — ele é consequência dos 8. A prova usa: $K$ é anel, axiomas 1 (associativ.), 3 (neutro), 4 (oposto), 6 (distrib. escalar). Nenhum axioma foi usado desnecessariamente.

Fonte. Axler — Linear Algebra Done Right, §1A, Proposition 1.2 — CC-BY-NC.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 6Modeling 7Challenge 2Proof 4

Ex. 111.1Application
Verifique que $\mathbb{R}^2$ com soma componente a componente e multiplicação por escalar é espaço vetorial sobre $\mathbb{R}$ .
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Ex. 111.2Application
Verifique que $W = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x + y = 0\}$ é subespaço de $\mathbb{R}^2$ .
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Ex. 111.3Application
O conjunto $W = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x + y = 1\}$ é subespaço de $\mathbb{R}^2$ ?
Solve online
Ex. 111.4Application
Mostre que $W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x = y\}$ é subespaço de $\mathbb{R}^3$ . Qual é sua dimensão?
Ex. 111.5ApplicationAnswer key
O conjunto $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq 0\}$ (semiplano direito) é subespaço de $\mathbb{R}^2$ ?
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Ex. 111.6ApplicationAnswer key
Os polinômios de grau exatamente 3 formam subespaço de $\mathcal{P}_3$ ?
Solve online
Ex. 111.7Application
Os polinômios pares (com $p(-x) = p(x)$ ) formam subespaço de $\mathcal{P}_4$ ? Se sim, encontre uma base.
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Ex. 111.8Application
Mostre que as matrizes simétricas $n \times n$ formam subespaço de $\mathcal{M}_{n \times n}$ . Para $n = 3$ , qual é a dimensão?
Ex. 111.9Application
As matrizes $n \times n$ invertíveis formam subespaço de $\mathcal{M}_{n \times n}$ ?
Solve online
Ex. 111.10Application
Mostre que o conjunto solução de $Ax = \mathbf{0}$ (o núcleo de $A$ ) é subespaço de $\mathbb{R}^n$ .
Ex. 111.11Application
Se $V$ e $W$ são subespaços de um mesmo espaço, $V \cap W$ é subespaço? E $V \cup W$ ?
Solve online
Ex. 111.12Understanding
Mostre que $W = \{f \in C[0,1] : f(0) = 0 \text{ e } f(1) = 0\}$ é subespaço de $C[0,1]$ (funções contínuas em $[0,1]$ ).
Ex. 111.13Understanding
O conjunto das soluções de $Ax = b$ (com $b \neq \mathbf{0}$ ) é subespaço de $\mathbb{R}^n$ ?
Solve online
Ex. 111.14Proof
Demonstre que $a \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}$ para todo escalar $a \in K$ usando apenas os 8 axiomas.
Ex. 111.15Application
Escreva $(3, 4)$ como combinação linear de $(1, 0)$ e $(0, 1)$ .
Solve online
Ex. 111.16Application
Escreva $(5, 7)$ como combinação linear de $(1, 1)$ e $(1, -1)$ .
Solve online
Ex. 111.17Application
O conjunto $\{(1, 2),\ (2, 4)\}$ é linearmente independente em $\mathbb{R}^2$ ?
Solve online
Ex. 111.18ApplicationAnswer key
Verifique se $\{(1, 2, 3),\ (4, 5, 6),\ (7, 8, 9)\}$ é linearmente independente em $\mathbb{R}^3$ .
Solve online
Ex. 111.19Application
Mostre que $\{1, x, x^2\}$ é base de $\mathcal{P}_2$ . Qual é a dimensão de $\mathcal{P}_2$ ?
Ex. 111.20Application
Determine se $\{(1,1,0),\ (1,0,1),\ (0,1,1)\}$ é base de $\mathbb{R}^3$ .
Solve online
Ex. 111.21ApplicationAnswer key
Encontre as coordenadas de $(2, 3, 5)$ na base $\{(1,1,0),\ (1,0,1),\ (0,1,1)\}$ de $\mathbb{R}^3$ .
Solve online
Ex. 111.22ApplicationAnswer key
Qual é a dimensão do espaço gerado por $\{(1,0,0),\ (0,1,0),\ (1,1,0),\ (0,0,1)\}$ em $\mathbb{R}^3$ ?
Solve online
Ex. 111.23Application
Qual é a dimensão do espaço das matrizes simétricas $3 \times 3$ ?
Solve online
Ex. 111.24Application
Qual é a dimensão de $\mathcal{P}_5$ (polinômios de grau $\leq 5$ )?
Solve online
Ex. 111.25Understanding
As soluções de $y'' + y = 0$ formam espaço de qual dimensão? Exiba uma base.
Solve online
Ex. 111.26UnderstandingAnswer key
Mostre que se $\dim V = n$ (finito), então todo subespaço próprio de $V$ tem dimensão estritamente menor que $n$ .
Ex. 111.27Modeling
Embeddings de palavras Word2Vec vivem em $\mathbb{R}^{300}$ . Qual é a dimensão deste espaço? Por que 300 e não o tamanho do vocabulário?
Solve online
Ex. 111.28ModelingAnswer key
Portfólio Markowitz com 5 ativos vive em $\mathbb{R}^5$ . O subespaço dos portfólios com $\sum w_i = 1$ tem qual dimensão?
Solve online
Ex. 111.29Modeling
Estado de robô: posição $(x, y)$ , orientação $\theta$ , velocidades $(\dot{x}, \dot{y}, \dot{\theta})$ . Qual a dimensão do espaço de estado?
Solve online
Ex. 111.30Modeling
Sinal de áudio a 44 100 Hz, 10 s. Qual a dimensão do espaço sem compressão? Como a compressão MP3 explora a dimensão efetiva?
Solve online
Ex. 111.31ModelingAnswer key
Imagem MNIST $28 \times 28$ vive em $\mathbb{R}^{784}$ . PCA revela ~100 componentes relevantes. O que isso diz sobre a "dimensão efetiva" do subespaço das imagens de dígitos?
Solve online
Ex. 111.32Modeling
Em controle linear, $x \in \mathbb{R}^n$ e $u \in \mathbb{R}^m$ . Qual a dimensão do espaço de pares $(x, u)$ ? O que é o subespaço controlável?
Solve online
Ex. 111.33Modeling
Em finanças quantitativas, payoffs replicáveis com $n$ ativos em $N$ cenários formam subespaço de $\mathbb{R}^N$ . O que mercado "completo" significa em termos de dimensão?
Solve online
Ex. 111.34Understanding
Qual é a dimensão do espaço das matrizes antissimétricas $n \times n$ (com $A^T = -A$ )? Para $n = 3$ , exiba uma base.
Solve online
Ex. 111.35Understanding
Enuncie e demonstre (esboço) a fórmula de Grassmann: $\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)$ .
Solve online
Ex. 111.36Proof
Usando apenas os 8 axiomas, demonstre que $(-1) \cdot v = -v$ para todo $v \in V$ .
Solve online
Ex. 111.37ProofAnswer key
Demonstre: se $S$ é linearmente dependente, existe $v_j \in S$ tal que $\text{span}(S) = \text{span}(S \setminus \{v_j\})$ .
Ex. 111.38Proof
Demonstre: se $\dim V = n$ e $W$ é subespaço próprio ( $W \subsetneq V$ ), então $\dim W \leq n-1$ .
Ex. 111.39ChallengeAnswer key
Exiba uma base explícita de $\mathcal{M}_{2 \times 2}$ (matrizes $2\times2$ ) e calcule a dimensão.
Solve online
Ex. 111.40Challenge
Argumente que $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ (todas as funções reais) tem dimensão infinita. Use funções com suporte em ponto único.
Solve online

Fontes

A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · 2022 · EN · GNU FDL · §VS, §S, §LC, §LI, §B, §D. Fonte primária dos exercícios.
Linear Algebra — Jim Hefferon · 2020 · EN · CC-BY-SA · Capítulo 2 (Vector Spaces), §2.I–2.III. Fonte dos exemplos e exercícios do cap. 2.
Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · 2024 · 4ª ed · EN · CC-BY-NC · Capítulos 1–2. Fonte das demonstrações e porta formal.