Lição 112 — Transformações lineares

$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $T(x, y) = (2x,\, 3y)$. Verifique que $T$ é linear e encontre sua matriz.

$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $T(x, y) = (x + 1,\, y)$. Por que $T$ não é transformação linear?

$T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $T(x) = x^2$. Dê um contraexemplo concreto para mostrar que $T$ não é linear.

$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $T(x, y) = (y,\, x)$. Mostre que é linear e encontre sua matriz $2 \times 2$.

$T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$, $T(x, y, z) = (x + y,\, y + z)$. Mostre que é linear e encontre a matriz $2 \times 3$.

$D: \mathcal{P}_3 \to \mathcal{P}_3$, $D(p) = p'$. Encontre a matriz $4 \times 4$ na base $\{1, x, x^2, x^3\}$. O que é especial nessa matriz?

$I: \mathcal{P}_2 \to \mathcal{P}_3$, $I(p)(x) = \int_0^x p(t)\,dt$. Mostre que é linear e encontre a matriz $4 \times 3$ nas bases canônicas.

$T: \mathcal{M}_2 \to \mathcal{M}_2$, $T(A) = A^\top$. Mostre que é linear e escreva a matriz $4 \times 4$ na base canônica de $\mathcal{M}_2$.

Fixe $B \in \mathcal{M}_n$. Define-se $T: \mathcal{M}_n \to \mathcal{M}_n$ por $T(A) = AB$. Mostre que $T$ é linear.

$T: \mathcal{M}_2 \to \mathbb{R}$, $T(A) = \det A$. $T$ é transformação linear?

$T: \mathcal{P}_2 \to \mathcal{P}_2$, $T(p)(x) = p(2x)$. Mostre que é linear e encontre a matriz diagonal na base $\{1, x, x^2\}$.

$T: V \to W$, $T(v) = 0$ para todo $v \in V$. Mostre que $T$ é linear. Qual sua matriz em qualquer base?

Encontre a matriz $2 \times 2$ da rotação de 45° no plano. Verifique que seu determinante é 1.

Encontre a matriz $2 \times 2$ da reflexão pela reta $y = x$. Verifique que $[T]^2 = I$.

Encontre a matriz $2 \times 2$ da projeção ortogonal no eixo $y$. Verifique que $P^2 = P$ (idempotência).

Encontre a matriz $2 \times 2$ da projeção ortogonal na reta $y = x$. Verifique idempotência.

Encontre a matriz da escala não-uniforme $(x,y) \mapsto (3x,\, 2y)$. Qual o significado geométrico do determinante?

Encontre a matriz do cisalhamento horizontal de fator 2: $T(x, y) = (x + 2y,\, y)$.

Composição: rotação de 30° seguida de escala por 2. Calcule a matriz produto $[E_2][R_{30}]$.

Composição: reflexão pela reta $y = x$ e depois rotação de 90°. Calcule a matriz produto e identifique a transformação resultante.

Em $\mathbb{R}^3$, encontre a matriz $3 \times 3$ da rotação de 90° em torno do eixo $z$ (o eixo $z$ fica fixo).

Em $\mathbb{R}^3$, encontre a matriz $3 \times 3$ da projeção ortogonal no plano $xy$.

$T: \mathcal{P}_2 \to \mathcal{P}_2$, $T(p) = p' + p$. Encontre a matriz $3 \times 3$ na base canônica.

$T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, $T(v) = v \times (1,1,1)$ (produto vetorial com $(1,1,1)$ fixo). Encontre a matriz $3 \times 3$.

$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $T(x,y) = (x, -y)$ (reflexão no eixo $x$). Encontre $[T]$ na base canônica e na base $\mathcal{B}' = \{(1,1),\,(1,-1)\}$. Confirme que são semelhantes.

Mostre que matrizes semelhantes têm o mesmo determinante e o mesmo traço.

Mostre que se $A \sim B$ (semelhantes), então $A^k \sim B^k$ para todo $k \geq 1$. Conclua: nilpotência é invariante por semelhança.

Em computação gráfica, translação por $(a, b)$ em $\mathbb{R}^2$ não é transformação linear. Como coordenadas homogêneas permitem representá-la como transformação linear em $\mathbb{R}^3$? Escreva a matriz $3 \times 3$.

Portfólio com $n$ ativos, pesos $w \in \mathbb{R}^n$, retornos esperados $\mu \in \mathbb{R}^n$. O retorno esperado $r_p = w^\top \mu$ é transformação linear em $w$? E a variância $\sigma_p^2 = w^\top \Sigma w$?

Escreva a matriz Toeplitz $3 \times 5$ que realiza convolução linear 1D com kernel $k = (1, 2, 1)$ sobre um sinal de comprimento 5 (saída válida, comprimento 3).

Em aprendizado de máquina, uma camada densa é $y = Wx + b$. Qual parte é transformação linear? Por que adicionar $b$ não torna a camada linear? De onde vem a não-linearidade de uma rede neural?

Sistema LTI: $\dot{x} = Ax$, solução $x(t) = e^{At}x_0$. Mostre que a aplicação $x_0 \mapsto x(t)$ é transformação linear. O que é a matriz $e^{At}$?

O operador de derivação $D: \mathcal{P}_n \to \mathcal{P}_n$ tem matriz nilpotente. Explique por que $D^{n+1} = 0$, e o que isso significa em termos de polinômios.

Por que $\dim \mathcal{L}(V, W) = (\dim V)(\dim W)$? O que isso diz sobre o espaço de todas as matrizes $m \times n$?

$T(0) = 0$ é condição necessária para linearidade. Dê um exemplo de $T$ com $T(0) = 0$ que não é linear. Por que $T(0) = 0$ não é suficiente?

Se $A = [T]_{\mathcal{B}}$ representa $T$ em $\mathcal{B}$, explique o significado geométrico da fórmula $[T]_{\mathcal{B}'} = P^{-1}AP$. O que faz cada fator?

Explique, sem calcular, por que o produto matricial $[T][S]$ é exatamente a composição $T \circ S$. Qual é a relação entre a definição de produto matricial e a definição de composição?

Mostre que $\mathcal{L}(V, W)$ (conjunto de todas as transformações lineares de $V$ em $W$) é ele mesmo um espaço vetorial, com as operações $(T_1 + T_2)(v) = T_1(v) + T_2(v)$ e $(aT)(v) = a\,T(v)$.

Encontre $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ com $T^2 = -I$ (o negativo da identidade). Sugere-se rotação de 90°. Qual a conexão com os números complexos?

Demonstre: toda transformação linear $T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tem a forma $T(x) = ax$ para algum $a \in \mathbb{R}$.

Demonstração. Prove que a composição de transformações lineares é linear. Seja $S: U \to V$ e $T: V \to W$ ambas lineares. Mostre que $T \circ S: U \to W$ é linear.

Demonstração. Prove por indução que toda transformação linear preserva combinações lineares arbitrárias: $T\!\left(\sum c_i v_i\right) = \sum c_i T(v_i)$.

Demonstração. Prove: $T$ linear é injetiva $\iff \ker T = \{0\}$.

Demonstração. Prove o teorema de extensão linear: dados espaços vetoriais $V$ (dim $n$) e $W$, e vetores $w_1, \ldots, w_n \in W$ arbitrários, existe única transformação linear $T: V \to W$ com $T(v_i) = w_i$ para $i = 1, \ldots, n$.