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Lição 114 — Autovalores e autovetores

Direções invariantes de uma transformação linear: Av = λv. Polinômio característico, multiplicidade algébrica e geométrica. A pedra angular do PageRank, mecânica quântica e PCA.

Used in: Álgebra Linear universitária (1.º ano engenharia) · Equiv. Lineare Algebra LK alemão · Equiv. H2 Math singapurense · Math III japonês avançado

A\vec{v} = \lambda\,\vec{v},\quad \vec{v} \neq \vec{0}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Autovalores e autovetores

Equação característica

Definition· Polinômio característico

A condição $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$ com $\vec{v} \neq \vec{0}$ é equivalente a

$(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$

ter solução não trivial, o que ocorre se e somente se $A - \lambda I$ é singular:

p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = 0.

what this means · Equação característica: as raízes de p_A(λ) são exatamente os autovalores de A.

$p_A$ é o polinômio característico de $A$ , de grau $n$ em $\lambda$ . Sobre $\mathbb{C}$ , possui exatamente $n$ raízes (com multiplicidade).

"O polinômio característico de $A$ é $p_A(x) = \det(A - xI_n)$ . Os autovalores de $A$ são exatamente as raízes de $p_A$ ." — Beezer, A First Course in Linear Algebra, §EE, Teorema EMRCP

Autoespaço e multiplicidades

Propriedades fundamentais

Vetor geral rotaciona sob A (seta amarela desvia). Autovetor só muda de módulo, permanece na mesma reta (seta azul).

Exemplos resolvidos

Example— 1· Autovalores de matriz 2x2 via polinômio característico

Problema. Calcule os autovalores e autovetores de $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

Estratégia. A é triangular superior — autovalores estão na diagonal. Mesmo assim calculamos via polinômio para praticar o método geral.

Resolução.

$p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (3-\lambda)(2-\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda + 6.$

Raízes: $\lambda_1 = 3$ , $\lambda_2 = 2$ .

Para $\lambda_1 = 3$ : $(A - 3I)\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\vec{v} = \vec{0}$ $\Rightarrow$ $v_2 = 0$ , $v_1$ livre. Autovetor: $(1, 0)$ .

Para $\lambda_2 = 2$ : $(A - 2I)\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\vec{v} = \vec{0}$ $\Rightarrow$ $v_1 = -v_2$ . Autovetor: $(-1, 1)$ .

Verificação. $A(1,0) = (3,0) = 3(1,0)$ . $A(-1,1) = (-3+1, 2) = (-2, 2) = 2(-1, 1)$ . Correto.

Fonte. Beezer, A First Course in Linear Algebra, §EE, Exemplo ESMS2 — GNU FDL.

Example— 2· Autovalores de matriz simetrica 2x2 (autovalores reais)

Problema. Calcule os autovalores de $A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ e verifique as propriedades $\operatorname{tr}(A) = \sum\lambda_i$ e $\det A = \prod\lambda_i$ .

Estratégia. Polinômio de grau 2 com Bhaskara. Depois verificação.

Resolução.

$p_A(\lambda) = (5-\lambda)^2 - 16 = \lambda^2 - 10\lambda + 9 = (\lambda - 9)(\lambda - 1).$

Autovalores: $\lambda_1 = 9$ , $\lambda_2 = 1$ .

Verificação: $\operatorname{tr}(A) = 5 + 5 = 10 = 9 + 1$ . $\det A = 25 - 16 = 9 = 9 \cdot 1$ . Ambas conferem.

Para $\lambda = 9$ : $(A - 9I)\vec{v} = \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 4 & -4 \end{pmatrix}\vec{v} = \vec{0}$ $\Rightarrow$ $v_1 = v_2$ . Autovetor: $(1, 1)$ .

Para $\lambda = 1$ : autovetor $(1, -1)$ .

Verificação. Os dois autovetores são ortogonais: $(1,1) \cdot (1,-1) = 0$ . Esperado — $A$ é simétrica.

Fonte. Beezer, A First Course in Linear Algebra, §EE, Exemplo ESMS4 — GNU FDL.

Example— 3· Multiplicidade algebrica vs geometrica (nao diagonalizavel)

Problema. Para $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ , calcule o polinômio característico, identifique multiplicidades e decida se $A$ é diagonalizável.

Estratégia. Calcular $p_A$ , encontrar raízes e dimensão do autoespaço.

Resolução.

$p_A(\lambda) = (2-\lambda)^2 \Rightarrow \lambda = 2$ com $m_a(2) = 2$ .

Autoespaço: $(A - 2I)\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\vec{v} = \vec{0}$ $\Rightarrow$ $v_2 = 0$ , $v_1$ livre. Logo $E_2 = \operatorname{span}\{(1,0)\}$ , com $m_g(2) = 1$ .

Como $m_g(2) = 1 < m_a(2) = 2$ , a matriz não é diagonalizável. Sua forma de Jordan é $J = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ (a própria $A$ , neste caso).

Verificação. Se fosse diagonalizável, existiriam dois autovetores LI — mas há apenas um. Logo não há base de autovetores para $\mathbb{R}^2$ .

Fonte. Beezer, A First Course in Linear Algebra, §EE, Exemplo EMMS — GNU FDL.

Example— 4· Potencia de matriz via autovalores

Problema. Calcule $A^{10}$ para $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ (matriz de Fibonacci).

Estratégia. Diagonalizar $A = PDP^{-1}$ , depois $A^{10} = PD^{10}P^{-1}$ .

Resolução.

$p_A(\lambda) = \lambda^2 - \lambda - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.$

Seja $\phi = (1 + \sqrt{5})/2 \approx 1{,}618$ (razão áurea) e $\psi = (1 - \sqrt{5})/2 \approx -0{,}618$ .

Autovetores: para $\phi$ temos $(\phi, 1)$ ; para $\psi$ temos $(\psi, 1)$ .

$A^{10} = PD^{10}P^{-1}$ onde $D = \operatorname{diag}(\phi^{10}, \psi^{10})$ .

Em particular, o elemento $(1,1)$ de $A^n$ é $F_{n+1}$ ( $(n+1)$ -ésimo número de Fibonacci), dado pela fórmula de Binet:

$F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}.$

Numericamente: $\phi^{10} \approx 122{,}99$ , $\psi^{10} \approx 0{,}009$ , $F_{11} = 89$ .

Verificação. $A^{10} = \begin{pmatrix} F_{11} & F_{10} \\ F_{10} & F_9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 89 & 55 \\ 55 & 34 \end{pmatrix}$ — confirma-se com a sequência de Fibonacci.

Fonte. Austin, Understanding Linear Algebra, §4.1 — CC-BY-SA.

Example— 5· Distribuicao estacionaria de cadeia de Markov via autovetor

Problema. Uma cadeia de Markov modela o tempo em SP: estados Ensolarado (E) e Chuvoso (C). A matriz de transição é

$P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$

onde $P_{ij}$ é a probabilidade de transitar de $j$ para $i$ . Encontre a distribuição estacionária $\pi$ (autovetor de $\lambda = 1$ ).

Estratégia. Matrizes estocásticas sempre têm $\lambda = 1$ como autovalor. Resolver $(P - I)\pi = \vec{0}$ com normalização $\pi_1 + \pi_2 = 1$ .

Resolução.

$(P - I)\pi = \begin{pmatrix} -0{,}2 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & -0{,}4 \end{pmatrix}\pi = \vec{0}$ $\Rightarrow$ $-0{,}2\pi_E + 0{,}2\pi_C = 0$ $\Rightarrow$ $\pi_E = \pi_C$ .

Normalizando: $\pi_E + \pi_C = 1 \Rightarrow \pi_E = \pi_C = 0{,}5$ .

No longo prazo, SP está ensolarado 50% do tempo e chuvoso 50%.

Verificação. $P\pi = \begin{pmatrix} 0{,}8 \cdot 0{,}5 + 0{,}2 \cdot 0{,}5 \\ 0{,}4 \cdot 0{,}5 + 0{,}6 \cdot 0{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} = \pi$ . Correto.

Fonte. Austin, Understanding Linear Algebra, §4.3 — CC-BY-SA.

Exercise list

39 exercises · 9 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 7Modeling 7Challenge 4Proof 3

Ex. 114.1Application
Calcule os autovalores e autovetores de $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 114.2Application
Calcule os autovalores de $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ e encontre os autovetores correspondentes.
Solve online
Ex. 114.3Application
Calcule os autovalores de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 114.4Application
Calcule os autovalores e autovetores de $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 114.5Application
Calcule os autovalores de $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 114.6ApplicationAnswer key
Calcule os autovalores e autovetores de $A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 114.7ApplicationAnswer key
Analise a diagonalizabilidade de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Calcule multiplicidade algébrica e geométrica.
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Ex. 114.8ApplicationAnswer key
Calcule os autovalores de $A = \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 114.9Application
Calcule os autovalores de $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 114.10ApplicationAnswer key
Calcule os autovalores de $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 114.11ApplicationAnswer key
Calcule os autovalores de $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ e determine se é diagonalizável.
Solve online
Ex. 114.12ApplicationAnswer key
Calcule os autovalores de $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 114.13Application
Se $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ tem autovalores $1$ e $-1$ , quais são os autovalores de $A^{10}$ ? Calcule $A^{10}$ .
Solve online
Ex. 114.14Application
Uma matriz $A$ tem autovalores $2$ e $3$ . Quais são os autovalores de $A^2 + I$ ?
Solve online
Ex. 114.15Application
Uma matriz $3 \times 3$ tem autovalores $1$ , $2$ , $4$ . Calcule $\det A$ e $\operatorname{tr}(A)$ .
Solve online
Ex. 114.16Application
Uma matriz $2 \times 2$ tem $\operatorname{tr}(A) = 5$ e $\det A = 6$ . Calcule os autovalores.
Solve online
Ex. 114.17Application
Demonstre que se $\lambda$ é autovalor de $A$ invertível, então $1/\lambda$ é autovalor de $A^{-1}$ .
Ex. 114.18Application
Calcule os autovalores da matriz de rotação $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ para $\theta \in (0, \pi)$ .
Solve online
Ex. 114.19Understanding
Explique por que uma matriz com $\det A = 0$ necessariamente tem $0$ como autovalor.
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Ex. 114.20Understanding
Mostre que $A$ e $A^T$ têm o mesmo polinômio característico (e portanto os mesmos autovalores).
Ex. 114.21Understanding
Se $B = P^{-1}AP$ (matrizes similares), o que se pode concluir sobre os autovalores e autovetores de $A$ e $B$ ?
Solve online
Ex. 114.22Understanding
Se $A^2 = I$ , quais são os únicos autovalores possíveis de $A$ ?
Solve online
Ex. 114.23Understanding
Quais são os autovalores de uma projeção ortogonal $P$ (com $P^2 = P$ )?
Solve online
Ex. 114.24Understanding
Demonstre que autovetores de autovalores distintos são linearmente independentes (caso de dois autovetores).
Ex. 114.25Understanding
Mostre que autovalores reais de uma matriz ortogonal $Q$ (com $Q^T Q = I$ ) satisfazem $|\lambda| = 1$ .
Ex. 114.26Modeling
Uma cadeia de Markov de duas regiões (Sudeste e Nordeste) tem matriz de transição $P = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ . Encontre a distribuição estacionária via autovetor de $\lambda = 1$ .
Solve online
Ex. 114.27ModelingAnswer key
A sequência de Fibonacci é gerada por $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Calcule os autovalores e explique o crescimento da sequência.
Solve online
Ex. 114.28Modeling
Para o sistema de controle $\dot{x} = Ax$ com $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$ : verifique estabilidade analisando os autovalores.
Solve online
Ex. 114.29ModelingAnswer key
Uma matriz de Hessiana em ponto crítico é $H = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$ . Identifique os autovalores e classifique o ponto crítico (máximo/mínimo/sela).
Solve online
Ex. 114.30Modeling
Para o grafo caminho de 3 nós (1—2—3), monte o laplaciano $L = D - W$ , calcule os autovalores e identifique o número de componentes conectadas.
Solve online
Ex. 114.31Modeling
Prove que se $\lambda$ é autovalor de $A$ com autovetor $\vec{v}$ , então $\lambda + c$ é autovalor de $A + cI$ com o mesmo autovetor $\vec{v}$ .
Ex. 114.32Modeling
Em finanças, a matriz de covariância de duas ações idênticas com variância $\sigma^2$ e correlação $\rho$ é $\Sigma = \sigma^2 \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}$ . Calcule os autovalores e interprete.
Solve online
Ex. 114.33Challenge
Demonstre que se $\lambda$ é autovalor de $A$ com autovetor $\vec{v}$ , então $\lambda^k$ é autovalor de $A^k$ para todo inteiro positivo $k$ .
Ex. 114.34Challenge
Demonstre que autovalores de uma matriz idempotente ( $A^2 = A$ ) são apenas $0$ ou $1$ .
Ex. 114.35Challenge
Construa uma matriz $2 \times 2$ com autovalores $1$ e $-1$ tal que $(1, 1)$ seja autovetor de $\lambda = 1$ e $(1, -1)$ seja autovetor de $\lambda = -1$ .
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Ex. 114.36ChallengeAnswer key
Demonstre que autovetores de uma matriz simétrica correspondentes a autovalores distintos são ortogonais.
Ex. 114.37Proof
Demonstre que uma matriz triangular (superior ou inferior) tem seus autovalores iguais aos elementos da diagonal principal.
Ex. 114.38Proof
Demonstre (por indução) que autovetores correspondentes a $k$ autovalores distintos são linearmente independentes.
Ex. 114.39Proof
Demonstre que toda matriz simétrica real tem apenas autovalores reais.

Fontes

A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · 2022 · EN · GNU FDL · §EE e §PEE. Fonte primária dos exercícios e definições rigorosas.
Understanding Linear Algebra — David Austin · 2023 · EN · CC-BY-SA · §4.1–§4.3. Fonte dos exemplos geométricos e aplicações a cadeias de Markov.
Linear Algebra Done Right (4ª ed.) — Sheldon Axler · 2024 · EN · CC-BY-NC · Cap. 5. Referência para a abordagem moderna de multiplicidades e autoespaços.