Lição 119 — Síntese: Black-Scholes revisited

Na fórmula de Black-Scholes $C = SN(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$, o que representa a variável $S$?

Na fórmula de Black-Scholes, o que representa $N(d)$?

Para $S = K = 50$, $r = 0{,}06$, $\sigma = 0{,}20$, $T = 1$, calcule $d_1$ e $d_2$.

Com $d_1 = 0{,}40$ e $d_2 = 0{,}20$ do exercício 119.3, e sabendo que $N(0{,}40) \approx 0{,}6554$, $N(0{,}20) \approx 0{,}5793$, calcule o preço da call ($S = K = 50$, $r = 0{,}06$, $T = 1$).

Com os dados do exercício 119.4 ($C = 5{,}50$, $S = K = 50$, $r = 0{,}06$, $T = 1$), use a paridade put-call para calcular o preço do put europeu.

Com $\Delta = N(d_1) = 0{,}6554$ (exercício 119.3), quantas ações vender a descoberto para delta-hedgear uma posição long em 500 calls?

Qual Greek mede a sensibilidade do preço da opção à volatilidade $\sigma$?

Calcule $d_1$ e $d_2$ para PETR4: $S = 46{,}60$, $K = 47$, $r = 14{,}65\%$ a.a., $\sigma = 35\%$, $T = 30$ dias.

Com $d_1 \approx 0{,}085$ e $d_2 \approx -0{,}015$ (exercício 119.8), e $N(0{,}085) \approx 0{,}534$, $N(-0{,}015) \approx 0{,}494$, calcule o preço teórico da call PETR4.

Com $C \approx 1{,}92$, $S = 46{,}60$, $K = 47$, $Ke^{-rT} \approx 46{,}43$, calcule o preço do put PETR4 pela paridade put-call.

A EDP de Black-Scholes é matematicamente análoga a qual outra equação clássica da física?

Repita o cálculo do Exemplo 2 ($S = K = 100$, $r = 0{,}05$, $T = 1$) com $\sigma = 0{,}30$ (maior volatilidade). Compare com o resultado $C \approx 10{,}45$ para $\sigma = 0{,}20$. O que acontece com o preço da call?

Com $S = K = 100$, $r = 0{,}05$, $\sigma = 0{,}20$, calcule $C$ para $T = 0{,}25$ (3 meses). Compare com $C \approx 10{,}45$ para $T = 1$. Interprete o efeito do tempo (Theta).

Leia da tabela normal padrão os valores de $N(d)$ para $d \in \{0; 0{,}50; 1{,}00; 1{,}96; 2{,}00\}$. Use a simetria $N(-d) = 1 - N(d)$ para calcular $N(-1)$ e $N(-1{,}96)$.

Explique em uma frase a interpretação probabilística de $N(d_2)$ na fórmula de Black-Scholes.

Para $S = 100$, $K = 110$ (out-of-the-money), $r = 0{,}05$, $\sigma = 0{,}20$, $T = 1$, calcule $d_1$, $d_2$ e $C$. Compare com a opção at-the-money do Exemplo 2.

Com $C = 6{,}0$ do exercício 119.16 ($S = 100$, $K = 110$, $r = 0{,}05$, $T = 1$), calcule o preço do put pela paridade. Compare put e call.

O mercado cotou a call PETR4 (exercício 119.9) a R$ 2,50 enquanto o modelo com $\sigma = 35\%$ deu R$ 1,92. Explique o conceito de volatilidade implícita e como calculá-la.

Descreva as 3 substituições de variáveis que transformam a EDP de Black-Scholes na equação do calor. Por que isso é útil?

Descreva um hedge dinâmico delta-neutro para 1.000 calls PETR4 ($\Delta = 0{,}534$) ao longo de 2 dias. Por que esse hedge é "dinâmico" e qual é seu custo real que BS ignora?

Explique como o Teorema Central do Limite (Lição 77) justifica a hipótese de log-normalidade de $S_T$ no modelo de Black-Scholes.

Por que a EDP de Black-Scholes é classificada como parabólica? O que isso significa fisicamente?

No caso especial $S = K$ e $r = 0$, mostre que $C = S[2N(\sigma\sqrt{T}/2) - 1]$. Use a simetria da distribuição normal padrão.

A função $N(d)$ não tem fórmula fechada. Descreva uma aproximação polinomial (Abramowitz-Stegun) usada em implementações sem biblioteca estatística. Calcule $N(0{,}35)$ pela aproximação e compare com o valor da tabela ($\approx 0{,}6368$).

Esboce a derivação da EDP de Black-Scholes: construa o portfólio replicante $\Pi = \Delta S - C$, aplique o Lema de Itô a $dC$, elimine o risco escolhendo $\Delta$ apropriado, e use não-arbitragem para obter a EDP.

Liste 3 hipóteses de Black-Scholes que claramente falharam durante a crise financeira de 2008. Para cada uma, cite um modelo alternativo que a relaxa.

Verifique numericamente que a fórmula BS satisfaz a EDP de BS, usando os valores do Exemplo 2 ($S = K = 100$, $r = 0{,}05$, $\sigma = 0{,}20$, $T = 1$). Calcule cada termo da EDP.

Demonstre a paridade put-call $C - P = S - Ke^{-r(T-t)}$ via argumento de não-arbitragem com dois portfólios de mesmo payoff.

Calcule o limite $\lim_{\sigma\to 0^+} C(S, t)$ pela fórmula de Black-Scholes. Use a propriedade $N(-\infty) = 0$ e $N(+\infty) = 1$. Interprete financeiramente.

Como a taxa Selic afeta o preço de uma call europeia segundo BS? Calcule o Greek Rho ($\rho = \partial C / \partial r$) para os dados da PETR4 (exercício 119.9) e interprete.

Calcule o Vega da call do Exemplo 1 ($S = K = 100$, $d_1 = 0{,}35$, $T = 1$, $\sigma = 0{,}20$). Use $\phi(0{,}35) \approx 0{,}375$. Interprete: quanto a call muda se $\sigma$ sobe de 20% para 21%?

Calcule o Gamma da call do Exemplo 1 ($S = K = 100$, $d_1 = 0{,}35$, $\sigma = 0{,}20$, $T = 1$). Interprete: se $S$ sobe R$ 1, quanto muda o Delta?

Em portfólio com 2 ativos igualmente ponderados, com volatilidades $\sigma_1 = \sigma_2 = 25\%$ e correlação $\rho = 0{,}5$, calcule a volatilidade do portfólio. Como isso se conecta à matriz de covariância usada em BS multi-ativo?

Esboce o diagrama de payoff de uma call europeia no vencimento com $K = 100$ e prêmio pago $C = 10{,}45$. Identifique o ponto de break-even e as zonas de lucro/prejuízo.

Escreva $N(d)$ como integral e explique por que essa integral não tem fórmula fechada em funções elementares. Como isso se conecta ao Teorema Fundamental do Cálculo (Lição 83)?

Compare o movimento browniano geométrico (GBM) com um random walk simples (discreto). Por que o GBM é mais adequado para modelar preços de ações?

PETR4 paga dividendos contínuos a uma taxa $q = 5\%$ ao ano. Como ajustar a fórmula de BS? Calcule o novo $S_{\text{adj}} = Se^{-qT}$ para os dados do exercício 119.8 e descreva o efeito no preço da call.

Na prática brasileira, a curva de volatilidade implícita de PETR4 não é plana — é um "smirk" (sorriso assimétrico). Explique o que isso significa e por que contradiz as hipóteses de Black-Scholes.

Descreva o algoritmo de Newton-Raphson para calcular a volatilidade implícita, dado que a call PETR4 está cotada a R$ 2,50 (vs. R$ 1,92 teórico com $\sigma = 35\%$). Use Vega como derivada. Calcule a primeira iteração.

Descreva o modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein (CRR) como alternativa a BS para precificar uma opção americana de compra ($S = K = 100$, $r = 0{,}05$, $\sigma = 0{,}20$, $T = 1$ ano, $n = 3$ passos). Por que BS não funciona para opções americanas?

Explique o conceito de "opção real" (real option) e como a fórmula BS pode ser usada para avaliar o direito de expandir uma fábrica. Identifique $S$, $K$, $\sigma$ nesse contexto.

A partir da EDP de Black-Scholes, demonstre a relação $\Theta + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \Gamma + rS\Delta = rC$ entre os Greeks. Interprete financeiramente: por que uma posição long call delta-hedgeada perde dinheiro com o tempo mas ganha com movimentos bruscos do ativo?