Lição 120 — Workshop final do Programa

计算 $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2 x \cos^3 x\, dx$。

求解 $y'' + 4y = 0$ 且 $y(0) = 1$，$y'(0) = 0$。

收入 $R(q) = 120q - 2q^2$ 和成本 $C(q) = 200 + 40q + q^2$。找到使利润 $L = R - C$ 最大化的 $q^*$。

写下 $\cos x$ 在 $x = 0$ 处的泰勒级数到 $x^4$ 项。

计算 $\dfrac{d}{dx} e^{x^2}$。

用基本定理计算 $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$。

计算 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$。

计算由 $y = \sqrt{x}$、$x \in [0,4]$ 绕 $x$ 轴旋转生成的旋转体的体积。

使用积法则计算 $\dfrac{d}{dx}[x^2 \sin x]$。

微积分基本定理（两部分）的正确陈述是什么？

对角化 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$。找到 $P$ 和 $D$。

计算 $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵。

为什么每一个实对称矩阵都是正交可对角化的？引用相关定理。

在 $A = U\Sigma V^T$（奇异值分解）中，$U$ 和 $V^T$ 在几何上代表什么？

给定系统 $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}x = \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$，确定是否有解。如果有，求其解。

对于 $m \times n$ 矩阵 $A$，矩阵 $A$ 零空间的维数是多少？

将 30° 旋转矩阵应用于点 $(1, 0)$。

找到向量 $(3, 4)$ 方向上的单位向量。

$A$ 是对称 $2\times 2$ 矩阵，特征值为 $\lambda_1, \lambda_2$。证明对所有 $k \geq 1$，$\operatorname{tr}(A^k) = \lambda_1^k + \lambda_2^k$。

$X$ 有两列线性相关。通过奇异值分解证明 $X^T X$ 是奇异矩阵。

投掷公平硬币 5 次。计算 $P(X = 3)$ 其中 $X$ = 正面数。

$X \sim N(0,1)$。计算 $P(X > 2)$。

五个点：$(1,2)$、$(2,3)$、$(3,5)$、$(4,4)$、$(5,6)$。找到回归线 $\hat y = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 x$ 的 $\hat\beta_0$ 和 $\hat\beta_1$。

A/B 测试：转化率 A = 10%，B = 12%，$n = 1000$ 每组。在 $\alpha = 0.05$ 水平上进行比例差异的双尾 z 检验。

频率学派 95% 置信区间和贝叶斯 95% 可信区间之间的正确差异是什么？

证明 $\operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{Cov}(X, Y)$。

先验 $\mu \sim \mathcal{N}(0,1)$，观察 $x_i \sim \mathcal{N}(\mu, 1)$ 有 $\bar x = 2$，$n = 4$。计算 $\mu$ 的后验分布。

陈述中心极限定理并直观地解释它为什么起作用。

使用极坐标证明 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi}$。

为什么具有共线特征的多元回归会产生不稳定的 $\hat\beta$？通过 $X^TX$ 解释。

阻尼质量弹簧：$m=1$，$k=4$，$c=2$。识别阻尼类型并写下 $\ddot x + 2\dot x + 4x = 0$ 的通解。

RC 电路有 $\tau = RC = 0.1$ s。电压需要多长时间才能下降到初始值的 5%？

质量弹簧：$m = 1$ kg，$k = 100$ N/m，力 $F\cos(\omega t)$，无阻尼。对于哪个 $\omega$ 幅度发散（共振）？

种群以每年 2% 的内禀增长率增长，有支持容量 $K$ 和每年收获 1000 个体。建模常微分方程并识别平衡点。

使用牛顿法从 $x_0 = 1$ 近似 $\sqrt{2}$。进行 3 次迭代。

Markowitz 投资组合：2 种资产有 $\sigma_1 = 0.1$、$\sigma_2 = 0.2$、$\rho = 0.3$、权重相等。计算投资组合的波动率。

使用 $e^z$、$\cos\theta$、$\sin\theta$ 的泰勒级数证明 $e^{i\pi} + 1 = 0$。

证明微积分基本定理（第 2 部分）：$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ 其中 $F' = f$ 且 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续。

证明：$\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{Cov}(X,Y)$。

给定 $x^2 + xy + y^2 = 12$，找到曲线上切线是水平的点。