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Lição 82 — Integral definida e área orientada

Soma de Riemann como limite. Integral definida como área orientada sob o gráfico. Propriedades: linearidade, aditividade, monotonicidade. Teorema do Valor Médio Integral.

Used in: 3.º ano do EM (17 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 6 · Equiv. Klasse 12 alemã Integral

\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\, \Delta x

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Soma de Riemann

Definition· Integral de Riemann

Seja $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ limitada. Uma partição $P$ de $[a,b]$ é um conjunto $\{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\}$ . A norma da partição é $\|P\| = \max_i \Delta x_i$ onde $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ .

Escolhendo pontos amostrais $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$ , a soma de Riemann é:

$S(f, P) = \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\, \Delta x_i.$

$f$ é integrável em $[a,b]$ se existe um limite $L$ tal que para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ com $|S(f,P) - L| < \varepsilon$ sempre que $\|P\| < \delta$ , independente da escolha dos $x_i^*$ . Escreve-se $\int_a^b f(x)\, dx = L$ .

"A integral definida é formalmente o limite das somas de Riemann quando a norma da partição tende a zero." — OpenStax Calculus Vol. 1, §5.2

Somas de Darboux

Definição equivalente via somas inferior e superior:

$L(f, P) = \sum_{i=1}^n \Bigl(\inf_{[x_{i-1}, x_i]} f\Bigr) \Delta x_i, \qquad U(f, P) = \sum_{i=1}^n \Bigl(\sup_{[x_{i-1}, x_i]} f\Bigr) \Delta x_i.$

$f$ é integrável $\iff \sup_P L(f,P) = \inf_P U(f,P)$ .

Critério de integrabilidade

Propriedades

Definition· Propriedades da integral definida

Para $f$ , $g$ integráveis em $[a, b]$ e $\alpha, \beta, c \in \mathbb{R}$ com $a \leq c \leq b$ :

Linearidade: $\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g$
Aditividade: $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$
Inversão de limites: $\int_b^a f = -\int_a^b f$
Integral nula: $\int_a^a f = 0$
Monotonicidade: $f \leq g$ em $[a,b] \Rightarrow \int_a^b f \leq \int_a^b g$
Triângulo: $\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|$

Seis retângulos de Riemann aproximando a integral. À medida que $n \to \infty$ e $\|P\| \to 0$ , a soma converge para a área exata.

Teorema do Valor Médio Integral

Exemplos resolvidos

Example— 1· Soma de Riemann com n = 4 (básico)

Problema. Estime $\int_0^2 x^2\, dx$ usando a soma de Riemann à direita com $n = 4$ subintervalos.

Estratégia. Dividir $[0, 2]$ em 4 partes iguais, tomar o ponto à direita de cada parte, calcular a soma.

Resolução. $\Delta x = 2/4 = 0{,}5$ . Pontos direitos: $x_1^* = 0{,}5$ , $x_2^* = 1$ , $x_3^* = 1{,}5$ , $x_4^* = 2$ .

$S_4 = f(0{,}5) + f(1) + f(1{,}5) + f(2)) \cdot 0{,}5 = (0{,}25 + 1 + 2{,}25 + 4) \cdot 0{,}5 = 7{,}5 \cdot 0{,}5 = 3{,}75.$

(O valor exato pelo TFC é $\int_0^2 x^2\, dx = 8/3 \approx 2{,}67$ . A soma à direita superestimou pois $x^2$ é crescente.)

Verificação. Soma com $n$ grande converge para $8/3$ : confirma que $3{,}75$ é uma aproximação pelo excesso.

Fonte. APEX Calculus, §5.2, Exemplo 5.2.4 — CC-BY-NC.

Example— 2· Interpretacao geometrica de integral com funcao negativa (basico)

Problema. Interprete geometricamente $\int_0^\pi \sin x\, dx$ e $\int_\pi^{2\pi} \sin x\, dx$ .

Estratégia. $\sin x \geq 0$ em $[0, \pi]$ e $\sin x \leq 0$ em $[\pi, 2\pi]$ . A integral definida mede área orientada.

Resolução.

$\int_0^\pi \sin x\, dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$ (área acima do eixo: $+2$ ).
$\int_\pi^{2\pi} \sin x\, dx = [-\cos x]_\pi^{2\pi} = -\cos 2\pi + \cos\pi = -1 - 1 = -2$ (área abaixo do eixo: contribuição $-2$ ).

Logo $\int_0^{2\pi} \sin x\, dx = 2 + (-2) = 0$ . A área geométrica total é $2 + 2 = 4$ , mas a integral é zero.

Verificação. Aditividade: $\int_0^\pi + \int_\pi^{2\pi} = 2 - 2 = 0 = \int_0^{2\pi} \sin x\, dx$ . Confere.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.2, Exemplo 5.18 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Estimativa por cota (intermediario)

Problema. Mostre que $2 \leq \int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx \leq 2\sqrt{3}$ .

Estratégia. Usar monotonicidade: cotar $\sqrt{x+1}$ em $[0, 2]$ por baixo e por cima.

Resolução. Em $[0, 2]$ : mínimo de $\sqrt{x+1}$ em $x = 0$ é $\sqrt{1} = 1$ ; máximo em $x = 2$ é $\sqrt{3}$ .

Por monotonicidade: $\int_0^2 1\, dx \leq \int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx \leq \int_0^2 \sqrt{3}\, dx$ , ou seja $2 \leq \int \leq 2\sqrt{3}$ .

Verificação. O valor exato pelo TFC: $\int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx = \left[\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}\right]_0^2 = \frac{2}{3}(3^{3/2} - 1) = \frac{2}{3}(3\sqrt{3} - 1) \approx 2{,}80$ , que está entre 2 e $2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ . Confere.

Fonte. Active Calculus, §4.2, Exercício 4.2.3 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Valor medio de funcao contínua (desafio)

Problema. Calcule o valor médio de $f(x) = x^2$ no intervalo $[1, 4]$ .

Estratégia. Usar a fórmula do valor médio: $f_{\text{med}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx$ .

Resolução. $f_{\text{med}} = \frac{1}{4-1}\int_1^4 x^2\, dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^4 = \frac{1}{3}\left(\frac{64}{3} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} \cdot 21 = 7.$

Pelo TVM integral, existe $c \in (1, 4)$ tal que $f(c) = 7$ , ou seja $c^2 = 7$ , logo $c = \sqrt{7} \approx 2{,}65 \in (1, 4)$ . Confere.

Verificação. $\sqrt{7} \approx 2{,}65$ está dentro do intervalo $(1, 4)$ , como garantido pelo TVM. Confere.

Fonte. APEX Calculus, §5.3, Exemplo 5.3.4 — CC-BY-NC.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 4Challenge 3Proof 1

Ex. 82.1Application
Estime $\int_0^4 x^2\, dx$ usando soma de Riemann à direita com $n = 4$ e $\Delta x = 1$ .
Solve online
Ex. 82.2Application
Estime $\int_0^4 x^2\, dx$ usando soma de Riemann à esquerda com $n = 4$ e $\Delta x = 1$ .
Solve online
Ex. 82.3Application
Calcule $\int_0^3 (2x + 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.4Application
Calcule $\int_1^4 3x^2\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.5ApplicationAnswer key
Calcule $\int_0^\pi \cos x\, dx$ e interprete o resultado geometricamente.
Solve online
Ex. 82.6Application
Calcule $\int_0^1 e^x\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.7Application
Calcule $\int_1^e \frac{1}{x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.8Application
Calcule $\int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.9Application
Calcule $\int_0^{\pi/2} \sin x\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.10Application
Calcule $\int_{-1}^2 x^3\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.11Application
Sabendo que $\int_0^2 f(x)\, dx = 3$ e $\int_2^5 f(x)\, dx = -4$ , calcule $\int_0^5 f(x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.12ApplicationAnswer key
Sabendo que $\int_1^3 f(x)\, dx = 5$ e $\int_1^3 g(x)\, dx = 7$ , calcule $\int_1^3 (4f(x) - 2g(x))\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.13Application
Se $\int_2^5 f(x)\, dx = -4$ , qual é $\int_5^2 f(x)\, dx$ ?
Solve online
Ex. 82.14ApplicationAnswer key
Calcule $\int_0^4 \sqrt{x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.15Application
Calcule $\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.16Understanding
Sem calcular, qual é o sinal de $\int_{-\pi}^\pi \sin x\, dx$ ?
Solve online
Ex. 82.17Understanding
Qual afirmação sobre $\int_a^b f(x)\, dx$ está correta?
Solve online
Ex. 82.18ModelingAnswer key
Um veículo tem velocidade $v(t) = 3t^2 + 2$ m/s. Qual a distância percorrida de $t = 0$ a $t = 4$ s?
Solve online
Ex. 82.19ModelingAnswer key
A temperatura de um reator industrial varia como $T(t) = 2t + 1$ °C durante as 6 primeiras horas de operação. Calcule a temperatura média nesse período.
Solve online
Ex. 82.20ApplicationAnswer key
Sabendo que $\int_1^5 f(x)\, dx = 10$ e $\int_3^5 f(x)\, dx = 4$ , calcule $\int_1^3 f(x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.21Application
Calcule $\int_{-2}^2 x^3\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.22Application
Calcule $\int_2^5 (4 - x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.23Modeling
Calcule a área geométrica total (sempre positiva) delimitada por $y = \sin x$ e o eixo $x$ em $[0, 2\pi]$ .
Solve online
Ex. 82.24Challenge
Use a propriedade de monotonicidade para estabelecer cotas superior e inferior para $\int_0^1 (x^2 + 1)\, dx$ , sem calcular.
Solve online
Ex. 82.25Challenge
Calcule o valor médio de $f(x) = \sin x$ em $[0, \pi]$ e encontre o valor de $c$ garantido pelo TVM integral.
Solve online
Ex. 82.26Application
Calcule $\int_0^{\pi/2} (\sin x + \cos x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.27Application
Calcule $\int_0^2 (e^x - 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.28Challenge
Estabeleça cotas para $\int_1^3 \sqrt{x}\, dx$ e depois calcule o valor exato.
Solve online
Ex. 82.29ModelingAnswer key
Uma força variável $F(x) = 10 - 2x$ N age sobre um objeto que se desloca de $x = 0$ a $x = 3$ m. Calcule o trabalho realizado ( $W = \int_0^3 F(x)\, dx$ ).
Solve online
Ex. 82.30Proof
Demonstre a propriedade de inversão dos limites: $\int_b^a f(x)\, dx = -\int_a^b f(x)\, dx$ .

Fontes

Active Calculus — Boelkins · §4.2 · CC-BY-NC-SA. Construção intuitiva das somas de Riemann, atividades com gráfico.
APEX Calculus — Hartman et al. · §5.2–5.3 · CC-BY-NC. Definição formal, propriedades, exemplos numéricos.
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · CC-BY-NC-SA. Critério de integrabilidade, propriedades, exemplos com funções positivas e negativas.