Lição 83 — Teorema Fundamental do Cálculo

通过 TFC2 计算 $\int_0^3 2x\, dx$。

计算 $\int_{-1}^2 x^3\, dx$。

计算 $\int_0^\pi \sin x\, dx$。

计算 $\int_0^2 e^x\, dx$。

计算 $\int_0^2 (x^2 - 4x + 1)\, dx$。

计算 $\int_1^e \frac{1}{x}\, dx$。

若 $G(x) = \int_0^x (t^2 + 1)\, dt$，通过 TFC1 计算 $G'(x)$。

计算 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2} \sin t\, dt$。

计算 $\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\, dx$。

计算 $\int_1^9 \sqrt{x}\, dx$。

计算 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^3} \sqrt{1 + t^2}\, dt$。

计算 $\int_0^\pi (\cos x + \sin x)\, dx$。

计算 $\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1)\, dx$。

若 $G(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\, dt$，由 TFC1 计算 $G'(x)$ 是什么？

若 $F'(x) = f(x)$，由 TFC2 计算 $\int_a^b f(x)\, dx$ 的正确表达式是什么？

计算 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^1 t^3\, dt$。

计算 $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\, dx$。

一个物体的速度为 $v(t) = t^2 - 4t + 3$ m/s。计算从 $t = 0$ 到 $t = 4$ s 的净位移和总走过的距离。

计算 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^{x^2} e^{t^2}\, dt$。

计算 $\int_0^2 (2x^3 - 3x^2)\, dx$。

一家工厂的边际成本为 $C'(q) = 2q + 50$ 元/单位。计算生产前 100 单位的总成本。

定义 $G(x) = \int_1^x (2t - 1)\, dt$。显式计算 $G(x)$、验证 $G'(x) = 2x - 1$，并求值 $G(1)$ 和 $G(3)$。

已知 $\int_0^5 f(x)\, dx = 12$ 和 $\int_0^2 f(x)\, dx = 5$，计算 $\int_2^5 f(x)\, dx$。

计算 $y = x^2 - x$ 和 $x$ 轴在 $[0, 1]$ 上围成的面积。

计算 $\int_{-2}^2 (x^2 - 1)\, dx$。

计算 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^x \cos(t^2)\, dt$，不需要求反导数。

一家工厂的电功率随 $P(t) = 3 + 0{,}5t$ kW 变化（$t$ 为小时）。计算前 12 小时的能耗，并按每 kWh 0.85 元的价格计算成本。

计算 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{\sin x}^{\cos x} t^2\, dt$。

计算 $f(x) = x^2$ 在 $[0, 3]$ 上的平均值，并找到积分 TVM 保证的点 $c$。

从 TFC1 证明 TFC2：若 $F' = f$ 且 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$。